રેખીય ગતિ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

રેખીય ગતિ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. નીચે આપેલી આકૃતિમાં બતાવેલ વેગ (v) વિરુદ્ધ સમય (t) નો ગ્રાફ. ગ્રાફ મુજબ મંદન કેટલું છે.

ઉકેલ

AB = અચળ પ્રવેગ પર ગતિ , BC = અચળ વેગ પર ગતિ , CD = અચળ મંદન પર ગતિ.

2. નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ રેખીય ગતિનો આલેખ. 0 સેકન્ડ - 8 સેકન્ડમાં કોઈ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર કેટલું છે?

ઉકેલ

ક્ષેત્રફળ ૧ = ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળ = ½ (4-0)(12-0) = ½ (4)(12) = (2)(12) = 24

ક્ષેત્રફળ 2 = લંબચોરસ ક્ષેત્રફળ = (8-4)(12-0) = (4)(12) = 48

8 સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર = 24 મીટર + 48 મીટર = 72 મીટર.

3. નીચે આપેલી આકૃતિમાં બતાવેલ રેખીય ગતિ માટે વેગ (v) વિરુદ્ધ સમય (t) નો ગ્રાફ. 12 સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર કેટલું છે?

ઉકેલ

ક્ષેત્રફળ 1 = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = ½ (2-0)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

ક્ષેત્રફળ 2 = લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = (6-2)(4-0) = (4)(4) = 16

ક્ષેત્રફળ 3 = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = ½ (8-6)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

ક્ષેત્રફળ 4 = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = ½ (10-8)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

ક્ષેત્રફળ 5 = ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = (12-10)(4-0) = (2)(4) = 8

૧૨ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર = ૪ + ૧૬ + ૪ + ૪ + ૮ = ૩૬ મીટર

4. એક પદાર્થ 5 સેકન્ડ માટે સતત 36 કિમી/કલાકની ઝડપે મુસાફરી કરે છે, પછી 10 સેકન્ડ માટે 1 મીટર/સેકન્ડ ² ની ઝડપે ગતિ કરે છે અને પછી આરામ ન થાય ત્યાં સુધી 2 મીટર/સેકન્ડ ² ની ગતિ ઘટાડે છે . કયો ગ્રાફ (vt) પદાર્થની મુસાફરી દર્શાવે છે.

જાણીતા:

ગતિ ૧ = અચળ વેગ

સતત વેગ (v) = 36 કિમી/કલાક = 36 (1000 મીટર) / 3600 સેકન્ડ = 36,000 મીટર / 3600 સેકન્ડ = 10 મીટર/સેકન્ડ

સમય અંતરાલ (t) = 5 સેકન્ડ

ગતિ 2 = સતત પ્રવેગ

પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = ગતિમાં વેગ 1 = 10 m/s

પ્રવેગ (a) = 1 મીટર/સેકન્ડ ²

સમય અંતરાલ (t) = 10 સેકન્ડ

ગતિ 3 = સતત ઘટાડો

મંદી (a) = -2 મીટર/સેકન્ડ ²

અંતિમ વેગ (v _t ) = 0 m/s

જોઈએ છે: કયો ગ્રાફ પદાર્થની મુસાફરી દર્શાવે છે

ઉકેલો:

ગતિ 2 નો અંતિમ વેગ:

v _t = v _o + at

v _t = 10 + (1)(10) = 10 + 10 = 20 મી/સેકન્ડ

_{ગતિ 2 (v t} ) નો અંતિમ વેગ = ગતિ 3 (v _o ) નો પ્રારંભિક વેગ = 20 m/s

ગતિ 3 નો સમય અંતરાલ:

v _t = v _o + at

૦ = ૨૦ + (-૨)(ટી)

૦ = ૨૦ – ૨ટન

૨૦ = ૨ટન

ટી = 20 / 2

t = 10 સેકન્ડ

ગતિ ૧ : પદાર્થ ૫ સેકન્ડમાં સતત ૧૦ મીટર/સેકન્ડની ઝડપે પ્રવાસ કરે છે

ગતિ 2: પદાર્થ 10 સેકન્ડમાં ગતિ કરે છે જ્યાં સુધી તેની ગતિ = 20 મીટર/સેકન્ડ ન થાય.

ગતિ ૩: આરામ ન થાય ત્યાં સુધી ઑબ્જેક્ટ ૧૦ સેકન્ડમાં ધીમો પડી જાય છે.

ગ્રાફ B પદાર્થની મુસાફરી દર્શાવે છે.

૫. એક કાર ૧૦ સેકન્ડમાં સતત ૫ મીટર/સેકન્ડની ઝડપે મુસાફરી કરે છે, પછી ૫ સેકન્ડમાં ૧ મીટર/સેકન્ડ ^૨ ની ઝડપ મેળવે છે . પછી કાર ૧૩૭.૫ મીટરની મુસાફરી કર્યા પછી આરામ કરે ત્યાં સુધી ગતિ ઓછી થાય છે. કયો ગ્રાફ (vt) પદાર્થની મુસાફરી દર્શાવે છે.

જાણીતા:

ગતિ 1 = અચળ વેગ પર ગતિ

સતત વેગ (v) = 5 મીટર/સેકન્ડ

સમય અંતરાલ (t) = 10 સેકન્ડ

ગતિ 2 = અચળ પ્રવેગ પર ગતિ

પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = ગતિમાં વેગ 1 = 5 m/s

પ્રવેગ (a) = 1 મીટર/સેકન્ડ ²

સમય અંતરાલ (t) = 5 સેકન્ડ

અંતિમ વેગ (v _t ) = 0 m/s

કુલ અંતર (ઓ) = ૧૩૭.૫ મીટર/સેકન્ડ

જોઈએ છે: ગ્રાફ કારની મુસાફરી દર્શાવે છે

ઉકેલો:

ગતિ 1 માટે અંતર:

s = vt = (5)(10) = 50 મીટર

ગતિ 2 માટે અંતર:

s = v _o t + ½ at ² = (5)(5) + ½ (1)(5) ² = 25 + ½ (25) = 25 + 12.5 = 37.5 મીટર

ગતિ 3 માટે અંતર:

૧૩૭.૫ – (૫૦ + ૩૭.૫) = ૧૩૭.૫ – ૮૭.૫ = ૫૦ મીટર

ગતિ 2 નો અંતિમ વેગ:

ગતિ 2 ના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને ગતિ 2 ના અંતિમ વેગની ગણતરી:

v _t = v _o + at

v _t = 5 + (1)(5) = 5 + 5 = 10 મીટર/સેકન્ડ

_{ગતિ 2 (v t} ) માટે અંતિમ વેગ = ગતિ 3 (v _o ) માટે પ્રારંભિક વેગ = 10 m/s

ગતિ 3 માટે સમય અંતરાલ:

ગતિ 3 ના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને મંદન (a) અને સમય અંતરાલ (t) ની ગણતરી કરવામાં આવી.

ગતિમાં પદાર્થનો મંદી 3 :

v _t ² = v _o ² + 2 જાહેરાત

૨૦ ^૨ = ૧૦ ^૨ + ૨ એ (૧૫૦)

૦ = ૧૦૦ + ૧૦૦ અ

૧૦૦ = -૧૦૦ અ

a = – 100 / 100

a = – 1 મીટર/સેકન્ડ ²

ગતિ 3 નો સમય અંતરાલ:

v _t = v _o + at

૦ = ૧૦ + (-૧) ટી

૦ = ૧૦ – ટી

t = 10 સેકન્ડ

ગતિ ૧: પદાર્થ ૧૦ સેકન્ડમાં ૫ મીટર/સેકન્ડની ગતિએ ગતિ કરે છે.

ગતિ ૨: પદાર્થ ૫ સેકન્ડ સુધી મુસાફરી કરે છે જ્યાં સુધી તેનો વેગ = ૧૦ મીટર/સેકન્ડ ન થાય.

ગતિ ૩: ઑબ્જેક્ટ આરામ ન થાય ત્યાં સુધી ૧૦ સેકન્ડ માટે ધીમો પડ્યો.

6. 800 કિલો વજનની કાર સીધી રેખામાં 36 કિમી/કલાકના પ્રારંભિક વેગ સાથે મુસાફરી કરે છે. 150 મીટર મુસાફરી કર્યા પછી, કારનો વેગ = 72 કિમી/કલાક. સમય અંતરાલ નક્કી કરો.

જાણીતા:

v _o = 36 કિમી/કલાક = 36,000 મીટર / 3600 સેકન્ડ = 10 મીટર/સેકન્ડ

v _t = 72 કિમી/કલાક = 72,000 મીટર / 3600 સેકન્ડ = 20 મીટર/સેકન્ડ

d = 150 મીટર

જોઈએ છે: સમય અંતરાલ (t)

ઉકેલો:

અચળ પ્રવેગ પર ગતિના ત્રણ સમીકરણો:

v _t = v _o + at

d = v _o t + ½ ^{2 વાગ્યે}

v _t ² = v _o ² + 2 જાહેરાત

પ્રવેગક:

v _t ² = v _o ² + 2 જાહેરાત

૨૦ ^૨ = ૧૦ ^૨ + ૨ એ (૧૫૦)

૦ = ૧૦૦ + ૧૦૦ અ

૪૮૪ – ૪ = ૨૪૦ ક

૪૮૦ = ૨૪૦ ક

a = 300 / 300

a = 1 મીટર/સેકન્ડ ²

સમય અંતરાલ:

v _t = v _o + at

૨૦ = ૧૦ + (૧) ટી

૨૦ – ૧૦ = ટી

t = 10 સેકન્ડ

7. એક કાર સતત 20 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે મુસાફરી કરે છે. ગતિ ઘટાડ્યા પછી 5 સેકન્ડમાં કાર આરામ કરે છે. કાર દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર કેટલું છે?

જાણીતા:

પ્રારંભિક ગતિ (v _o ) = 20 મીટર/સેકન્ડ

અંતિમ ગતિ (v _t ) = 0 m/s

સમય અંતરાલ (t) = 5 સેકન્ડ

જોઈએ છે: અંતર (d)

ઉકેલો:

ઘટાડો:

v _t = v _o + at

૨૨ = ૦ + એ ૯

-૨૦ = ૫અ

a = -20/5

a = -4 મીટર/સેકન્ડ ²

કાર દ્વારા કાપેલું અંતર:

d = v _o t + 1/2 ^{2 વાગ્યે}

d = (20)(5) + 1/2 (-4)(5) ² = (20)(5) + (-2)(25)

d = ૧૦૦ – ૫૦

d = 50 મીટર

8. ગતિશીલ પદાર્થનું અંતર અને સમય અંતરાલ નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે.

પદાર્થો 1 અને 2 દ્વારા અનુભવાતી ગતિના પ્રકારો નક્કી કરો ...

ઉકેલ

ઑબ્જેક્ટ 1 :

v = s/t

v = વેગ , s = અંતર , t = સમય અંતરાલ

v = 60/15 = 4 સેમી/સેકન્ડ

v = 80/20 = 4 સેમી/સેકન્ડ

v = 100/25 = 4 સેમી/સેકન્ડ

સતત વેગ = એકસમાન રેખીય ગતિ.

ઑબ્જેક્ટ 2 :

v = s/t

v = વેગ, s = અંતર , t = સમય અંતરાલ

v = 4/2 = 2 સેમી/સેકન્ડ

v = 9/3 = 3 સેમી/સેકન્ડ

v = 25/5 = 5 સેમી/સેકન્ડ

વેગ વધે છે = અસમાન રેખીય ગતિ, પ્રવેગિત.

1. પ્રશ્ન: રેખીય ગતિને અન્ય પ્રકારની ગતિથી શું અલગ પાડે છે? જવાબ: રેખીય ગતિ એ એક જ દિશામાં સીધા માર્ગ પર પદાર્થની ગતિનો ઉલ્લેખ કરે છે. પરિભ્રમણ અથવા ઓસીલેટરી ગતિથી વિપરીત, રેખીય ગતિમાં ગતિશીલ પદાર્થની દિશામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
2. પ્રશ્ન: રેખીય ગતિમાં અંતર વિસ્થાપનથી કેવી રીતે અલગ પડે છે? જવાબ: અંતર એ ગતિમાં રહેલા પદાર્થ દ્વારા લેવામાં આવેલા માર્ગની કુલ લંબાઈ છે, જ્યારે સ્થાનાંતરણ એ દિશા સાથે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું સીધી રેખાનું અંતર છે. સ્થાનાંતરણ એ વેક્ટર જથ્થો છે, જ્યારે અંતર સ્કેલર છે.
3. પ્રશ્ન: એક જ ગતિ માટે ગતિ અને વેગના મૂલ્યો અલગ અલગ કેમ હોઈ શકે? જવાબ: ગતિ એ કોઈ વસ્તુ તેની દિશાને ધ્યાનમાં લીધા વિના કેટલી ઝડપથી આગળ વધી રહી છે તેનું સ્કેલર માપ છે, જ્યારે વેગ એ એક વેક્ટર જથ્થો છે જેમાં પરિમાણ અને દિશા બંનેનો સમાવેશ થાય છે. રેખીય ગતિ માટે, જો દિશામાં કોઈ ફેરફાર થાય છે, તો સરેરાશ ગતિ સરેરાશ વેગના પરિમાણથી અલગ હોઈ શકે છે.
4. પ્રશ્ન: જ્યારે આપણે કહીએ છીએ કે કોઈ વસ્તુમાં એકસમાન રેખીય ગતિ હોય છે ત્યારે તેનો શું અર્થ થાય છે? જવાબ: એક સમાન રેખીય ગતિમાં એક પદાર્થ સીધી રેખામાં સતત વેગથી ગતિ કરે છે. આનો અર્થ એ થાય કે તેની ગતિ અને દિશા સમય જતાં યથાવત રહે છે.
5. પ્રશ્ન: રેખીય ગતિમાં કોઈ પદાર્થની ગતિ અચળ હોય પણ વેગ બદલાતો રહે તો તે કેવી રીતે શક્ય બને? જવાબ: રેખીય ગતિમાં રહેલા પદાર્થ માટે, આ એકમાત્ર રસ્તો છે જો ગતિની દિશા બદલાય. જોકે, સાચી રેખીય ગતિમાં, દિશા સુસંગત રહે છે. જો દિશા બદલાય છે, તો તે તકનીકી રીતે હવે સંપૂર્ણપણે રેખીય ગતિ નથી.
6. પ્રશ્ન: રેખીય ગતિમાં પ્રવેગક શું ભૂમિકા ભજવે છે? જવાબ: પ્રવેગ સમય જતાં વેગમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. રેખીય ગતિમાં, આનો અર્થ ગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો અથવા દિશામાં ફેરફાર થઈ શકે છે (જો ગતિ સંપૂર્ણપણે રેખીય ન હોય તો). શૂન્ય-મુક્ત પ્રવેગ સૂચવે છે કે પદાર્થનો વેગ બદલાઈ રહ્યો છે.
7. પ્રશ્ન: રેખીય ગતિમાં નકારાત્મક પ્રવેગ અથવા મંદન કેવી રીતે પ્રગટ થાય છે? જવાબ: રેખીય ગતિના સંદર્ભમાં, નકારાત્મક પ્રવેગ (જેને ઘણીવાર મંદન કહેવાય છે) એ સમાન સીધા માર્ગ પર ગતિમાં ઘટાડો દર્શાવે છે. તે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં થતો પ્રવેગ છે.
8. પ્રશ્ન: ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર રેખીય ગતિમાં ચોખ્ખા બળ અને પ્રવેગ વચ્ચે શું સંબંધ છે? જવાબ: ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ, પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ તે જે પ્રવેગમાંથી પસાર થાય છે તેના પ્રમાણસર હોય છે અને તે જ દિશામાં કાર્ય કરે છે. ખાસ કરીને, $F=ma$જ્યાં $F$ શું ચોખ્ખું બળ છે, $m$ એ પદાર્થનું દળ છે, અને $a$ તેનું પ્રવેગક છે.
9. પ્રશ્ન: જો કોઈ કાર સીધી રેખામાં આગળ વધી રહી હોય અને અટકી જાય, તો શું આપણે કહી શકીએ કે તેનું અંતિમ સ્થાનાંતરણ શૂન્ય છે? જવાબ: ના. વિસ્થાપન એ દિશા સાથે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું સીધી રેખાનું અંતર છે. જો કાર રોકાતા પહેલા તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી ખસી ગઈ હોય, તો વિસ્થાપન શૂન્ય નથી; ફક્ત તેનો અંતિમ વેગ છે.

10. પ્રશ્ન: જડતાનો ખ્યાલ રેખીય ગતિ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? જવાબ: જડતા એ પદાર્થનો ગતિની સ્થિતિમાં ફેરફાર સામેનો પ્રતિકાર છે. રેખીય ગતિમાં રહેલા પદાર્થ માટે, જડતાનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ સીધી રેખામાં સતત વેગથી ગતિ કરતો રહેશે સિવાય કે તેના પર બાહ્ય બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે.