એકમ વેક્ટર ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ ગુણાકાર સામગ્રી
જો આપણે A અને B (જાણીતા વેક્ટર) ના x, y અને z ઘટકો જાણીએ તો આપણે સ્કેલર ગુણાંકની સીધી ગણતરી કરી શકીએ છીએ .
આ રીતે ડોટ પ્રોડક્ટ કરવા માટે, આપણે પહેલા યુનિટ વેક્ટરનો ડોટ પ્રોડક્ટ કરીએ છીએ, ત્યારબાદ આપણે વેક્ટર A અને B ને તેમના ઘટકોમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ, પ્રોડક્ટનું વિઘટન કરીએ છીએ અને યુનિટ વેક્ટરના પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
એકમ વેક્ટર i , j, અને k એકબીજા પર લંબ છે, જે ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે. ઉપર આપેલા સ્કેલર ગુણાકાર સમીકરણ ( AB = AB cos theta ) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) કારણ 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
હવે આપણે વેક્ટર A અને B ને તેમના ઘટકોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ, તેમના ગુણાંકનું વિઘટન કરીએ છીએ અને એકમ વેક્ટરના ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
કરિના i . i = j . j = k . k = ૧ અને i . j = i . k = j . k = 0, પછી:
A . B = AxBx (૨૦૦૯) + AxBy (૨૦૦૯) + Ax Bz (0) +
AyBx (૨૦૦૯) + AyBy (૨૦૦૯) + AyBz (0) +
AzBx (૨૦૦૯) + AzBy (૨૦૦૯) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
૦ + એ વાય બી વાય (૧) + ૦ +
૦ + ૦ + એ ઝેડ બી ઝેડ (૧)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
આ ગણતરીના પરિણામોના આધારે, એવું નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે બે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન અથવા ડોટ ઉત્પાદન એ તેમના સમાન ઘટકોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૧:
મોટો વેક્ટર A અને B નીચે આપેલા ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, અનુક્રમે 5 અને 4 છે. બનેલો ખૂણો 90 છેo. ગણો ડોટ પ્રોડક્ટ બંને વેક્ટર.
ચર્ચા
A અને B વેક્ટરના ડોટ ગુણાંકની ગણતરી કરતા પહેલા, આપણે પહેલા બીજા વેક્ટરના ઘટકો જાણવાની જરૂર છે.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
બી ઝેડ = 0
વેક્ટર A માં ફક્ત x-અક્ષ પર વેક્ટર ઘટકો હોય છે અને વેક્ટર B માં ફક્ત y-અક્ષ પર વેક્ટર ઘટકો હોય છે. z ઘટક શૂન્ય છે કારણ કે વેક્ટર A અને B xy સમતલમાં છે.
હવે આપણે ઘટક વેક્ટર સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર A અને B વચ્ચેના ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરીએ છીએ:
એ. બી = એx Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
ચાલો તેની સરખામણી પહેલી પદ્ધતિ સાથે કરીએ.
AB = AB કોસ થીટા
AB = (4)(5) કોસ 90
એબી = (4) (5) (0)
એબી = 0
પરિણામ એ જ છે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૧:
મોટો વેક્ટર A અને B નીચેના ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, અનુક્રમે 5 અને 4 છે. ગણતરી કરો ડોટ પ્રોડક્ટ બંને વેક્ટર, જો બનેલો ખૂણો 30 હોયo
ચર્ચા
A અને B વેક્ટરના ડોટ ગુણાંકની ગણતરી કરતા પહેલા, આપણે પહેલા બીજા વેક્ટરના ઘટકો જાણવાની જરૂર છે.
z ઘટક શૂન્ય છે કારણ કે વેક્ટર A અને B xy સમતલમાં છે.
હવે આપણે ઘટક વેક્ટર સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર A અને B વચ્ચેના ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરીએ છીએ:
પ્રથમ પદ્ધતિ સાથે સરખામણી કરો.
