Cruth-atharrachaidhean anns a’ Phlèana Cartesian
’S e bun-bheachd bunaiteach ann am matamataig agus geoimeatraidh a th’ anns a’ phlèana Chairtesianach, agus tha e aithnichte do dh’ oileanaich agus do phroifeiseantaich matamataig air feadh an t-saoghail. Le bhith a’ cleachdadh siostam co-òrdanachaidh a thug René Descartes a-steach san 17mh linn, leigidh am plèana Chairtesianach le grafaichean agus mion-sgrùdadh a dhèanamh air gnìomhan agus chumaidhean geoimeatrach ann an àite dà-thaobhach. Is e cruth-atharrachadh aon bhun-bheachd deatamach ann am mion-sgrùdadh geoimeatrach a’ phlèana Chairtesianach. San artaigil seo, nì sinn sgrùdadh nas doimhne air na diofar sheòrsaichean cruth-atharrachaidhean anns a’ phlèana Chairtesianach, a’ gabhail a-steach eadar-theangachaidhean, rothlaidhean, meòrachadh, agus leudachadh.
1. Eadar-theangachadh
'S e seòrsa de chruth-atharrachadh a th' ann an eadar-theangachadh a ghluaiseas gach puing de nì leis an aon astar agus san aon taobh. Anns a' phlèana Cartesian, faodar eadar-theangachadh a riochdachadh le vectar. Mar eisimpleir, ma thèid puing P(x, y) a eadar-theangachadh leis a' vectar (a, b), bidh am puing ùr P' aig co-chomharran (x + a, y + b). Tha eadar-theangachadh cudromach ann an raon farsaing de thagraidhean, bho ghrafaigean coimpiutair gu mion-sgrùdadh gluasad ann am fiosaig.
Mar eisimpleir, ma thèid puing P(2, 3) a ghluasad leis a’ vectar (4, -1), bidh puing P’ aig co-chomharran (6, 2). Bidh an cruth-atharrachadh seo a’ gleidheadh cumadh is meud an nì, ach ag atharrachadh a shuidheachadh.
2. Cuairteachadh
Bidh rothladh a’ rothladh gach puing de nì timcheall air meadhan sònraichte le ceàrn sònraichte. Anns a’ phlèana Cartesian, mar as trice bidh rothladh air a dhèanamh timcheall air an tùs (0, 0). Faodar rothladh a chur an cèill mar cheàrn air a thomhas ann an radians no ceumannan.
Is e am foirmle choitcheann airson rothladh puing P(x, y) le ceàrn θ timcheall air an tùs (0, 0):
\[P'(x', y') = (x \ cos \ theta - y \ sin \ theta, x \ sin \ theta + y \ cos \ theta) \]
Abair gu bheil sinn airson puing P(1, 0) a thionndadh 90 ceum deiseal. Le bhith a’ cleachdadh foirmle an rothlaidh:
\\[P'(x', y') = (1 \ cos 90 ° - 0 \ sin 90 °, 1 \ sin 90 ° + 0 \ cos 90 °) \]
Is e an toradh P'(0, 1).
Is e cruth-atharrachadh a th’ ann an rothladh a ghleidheas cumadh is meud nì ach a dh’atharraicheas a threòrachadh.
3. Meòrachadh
'S e cruth-atharrachadh a th' ann am meòrachadh a tha a' nochdadh gach puing de nì a thaobh loidhne-iomraidh sònraichte. Faodaidh an loidhne-iomraidh a bhith na loidhne-x, na loidhne-y, no na loidhnichean y = x agus y = -x, no loidhnichean eile.
Ma tha an loidhne meòrachaidh air an ais-x, cruthaichidh meòrachadh puing P(x, y) air an ais-x puing P' a tha aig na co-chomharran (x, -y).
Ma dh’fhaileas sinn am puing Q(3, 4) tarsainn air an ais-y, is e co-chomharran an fhaileas Q' a thig às a sin (-3, 4). Bidh am faileas ag atharrachadh treòrachadh nì ach a’ cumail cumadh is meud an nì.
4. Leudachadh
'S e cruth-atharrachadh a th' ann an leudachadh a bhios a' meudachadh no a' lughdachadh meud nì le co-mheas sònraichte, a thaobh puing meadhanach sònraichte, mar as trice an tùs (0, 0). Tha leudachadh air a mhìneachadh le factar sgèile k.
Ma tha am factar sgèile nas motha na 1, bidh an nì a’ meudachadh, agus ma tha am factar sgèile nas lugha na 1, bidh an nì a’ crìonadh. Is e am foirmle choitcheann:
[P'(x', y') = (kx, ky)]
Mar eisimpleir, ma nì sinn leudachadh air a’ phuing R(2, 3) le factar sgèile de 2:
[R'(x', y') = (2⁻², 2⁻¹⁵) = (4, 6)]
Bidh an leudachadh seo a’ meudachadh astar puing bhon tùs le factar sònraichte agus ag atharrachadh meud iomlan an nì, ach a’ cumail suas cumadh bunaiteach an nì.
Iarrtas Cruth-atharrachaidh
Tha tagraidhean farsaing aig cruth-atharrachaidhean anns a’ phlèana Cartesian ann an diofar raointean saidheans agus innleadaireachd. Ann an grafaigean coimpiutair, thathas a’ cleachdadh cruth-atharrachaidhean geoimeatrach gus ìomhaighean agus nithean trì-thaobhach a làimhseachadh air scrion coimpiutair. Mar eisimpleir, ann am beòthachadh, thathas a’ cleachdadh cruth-atharrachaidhean leithid eadar-theangachadh agus rothladh gus gluasad a shamhlachadh.
Ann an raon fiosaig, thathas a’ cleachdadh cruth-atharrachaidhean gus gluasad nithean a sgrùdadh. Faodaidh cruth-atharrachaidhean co-òrdanachaidh a dhèanamh nas fhasa slighean-rathaid no atharrachaidhean ann an suidheachadh nithean san fhànais obrachadh a-mach. Ann an robotachd, bidh cruth-atharrachaidhean a’ cuideachadh le bhith a’ prògramadh gluasadan agus seòladh robotach.
Ann an innleadaireachd shìobhalta agus ailtireachd, bidh cruth-atharrachaidhean geoimeatrach a’ cuideachadh le dealbhadh agus mion-sgrùdadh structaran thogalaichean, a’ gabhail a-steach pròiseas tairgse mhodalan 3D.
Bidh matamataigich agus innleadairean tric a’ cleachdadh cruth-atharrachaidhean gus tuigse nas doimhne fhaighinn air feartan neo-atharrachail nithean geoimeatrach. Cuidichidh seo le bhith a’ dearbhadh feartan geoimeatrach sònraichte agus leigidh e le luchd-cleachdaidh fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan nas iom-fhillte ann am matamataig gnìomhaichte.
Penutup
Tha cruth-atharrachaidhean anns a’ phlèana Cartesian a’ toirt seachad innealan cumhachdach airson cumadh agus suidheachadh nithean ann an àite dà-thaobhach a sgrùdadh agus a làimhseachadh. Le bhith a’ tuigsinn bun-bheachdan leithid eadar-theangachadh, rothladh, meòrachadh agus leudachadh, is urrainn dhuinn bòidhchead matamataigeach geoimeatraidh agus a chleachdaidhean ann an iomadh raon saidheans agus teicneòlais a mheas. Chan e a-mhàin gu bheil na cruth-atharrachaidhean seo a’ tabhann dòigh air an t-saoghal againn fhaicinn ann an dòigh nas structaraichte, ach cuideachd a’ comasachadh cleachdadh an eòlais sin ann an raon farsaing de innleachdan teicneòlais is saidheansail.
