Co-aontar Loidhne-suathaidh ri Cearcall
’S e an cearcall aon de na nithean geoimeatrach as bunaitiche agus lorgar e gu tric ann an diofar raointean saidheans, bho mhatamataig bhunasach gu innleadaireachd shìobhalta agus ailtireachd. ’S e aon de na prìomh bhun-bheachdan co-cheangailte ri cearcallan ann an geoimeatraidh anailisichte co-aontar na loidhne-suathaidh ris a’ chearcall. Le bhith a’ tuigsinn co-aontar na loidhne-suathaidh ri cearcall, fosglaidh sin tuigse nas doimhne air na dàimhean eadar nithean geoimeatrach agus na cleachdaidhean aca ann am beatha làitheil. Mìnichidh an t-artaigil seo co-aontar na loidhne-suathaidh ri cearcall gu mionaideach, a’ tòiseachadh leis a’ bhun-bheachd agus a’ toirt a-mach a’ cho-aontar, a bharrachd air eisimpleirean a chur an sàs.
Bun-bheachd Bunasach air Tangent ri Cearcall
Is e loidhne a th’ ann an tangant ri cearcall a bhios a’ beantainn ris a’ chearcall aig aon phuing a-mhàin gun a bhith ga thrasnadh. Canar puing an tangant ris a’ phuing seo far a bheil an loidhne agus an cearcall a’ coinneachadh. Eu-coltach ri loidhnichean a bhios dìreach a’ trasnadh cearcall aig dà phuing, tha feart sònraichte aig tangantan gu bheil gach tangant ri cearcall ceart-cheàrnach ri radius a’ chearcaill aig a’ phuing sin.
Co-aontaran Coitcheann Chearcaill is Loidhnichean
Mus bruidhinn sinn air co-aontar na loidhne-suantan, feumar an toiseach co-aontar coitcheann cearcaill agus loidhne ann an co-chomharran Cairtesian aithneachadh.
Co-aontar Cearcaill
Tha co-aontar aig cearcall le meadhan aig puing _(h, k)_) agus radius _(r_):
[(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2]
Co-aontar Loidhne
Faodar loidhnichean anns a’ phlèana Cartesian a chur an cèill ann an grunn chruthan, agus is e aon den fheadhainn as cumanta an cruth leathad-eadar-ghearradh:
[y = mx + c]
far a bheil \(m\) na claonadh (no an claonadh) den loidhne agus \(c\) an gearradh-loidhne (eadar-ghearradh) timcheall air an ais-y.
A’ dearbhadh co-aontar loidhne-suathaidh ri cearcall
Tha grunn dhòighean ann a ghabhas cleachdadh gus co-aontar loidhne-suathaidh ri cearcall a dhearbhadh. Seo cuid de na dòighean as cumanta.
Modh 1: A’ cleachdadh puingean caisead agus tangent
Ma tha fios againn air a’ phuing-suathaidh (x₁, y₁) air cearcall le meadhan (h, k)), is urrainn dhuinn an togalach geoimeatrach a chleachdadh gu bheil an loidhne-suathaidh ceart-cheàrnach ri radius a’ chearcaill aig a’ phuing-suathaidh. Ma tha caisead an radius a’ dol tron na puingean (h, k) agus (x₁, y₁) mar a leanas:
[m_{radius} = \frac{y_1 – k}{x_1 – h}]
An uairsin is e claonadh na loidhne-suaicheantais, a tha ceart-cheàrnach ris an loidhne-rèidheis:
[ m_{tangent} = -\frac{1}{ m_{radius}} = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k}]
Leis a’ chlaonadh den loidhne-suathaidh aithnichte, is urrainn dhuinn an uairsin co-aontar na loidhne-suathaidh a sgrìobhadh ann an cruth claonadh-eadar-ghearradh a’ cleachdadh a’ phuing \((x_1, y_1)\):
[y – y_1 = m_{tangent}(x – x_1)]
No ann an cruth àbhaisteach:
[y – y_1 = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k}(x – x_1)]
Modh 2: A’ cleachdadh Ionadachadh agus Eadar-dhealachadh
Gus tangant ri cearcall aithnichte a lorg a’ cleachdadh an dòigh ionadachaidh is eadar-dhealachaidh, tòisichidh sinn le bhith a’ sgrìobhadh co-aontar a’ chearcaill agus a’ cur a-steach co-aontar coitcheann na loidhne. Is e co-aontar coitcheann loidhne _(y = mx + c _). A’ cothlamadh seo le co-aontar a’ chearcaill:
[(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2]
Cuir (mx + c) an àite (y) anns a’ cho-aontar cearcaill:
[(x – h)^2 + (mx + c – k)^2 = r^2]
Tha an co-aontar seo an uair sin air a leudachadh a-steach don chruth cheàrnagach àbhaisteach \(Ax^2 + Bx + C = 0\). Gus am bi loidhne na beantainn ris a’ chearcall, feumaidh aon fhuasgladh a bhith ann airson \(x\), agus mar sin feumaidh discriminant a’ cho-aontar cheàrnagaich a bhith co-ionann ri neoni. Is e discriminant a’ cho-aontar cheàrnagaich \(Ax^2 + Bx + C = 0\):
\[ D = B^2 – 4AC \]
Le \(D = 0\), is urrainn dhuinn luachan \(m\) agus \(c\) a dhearbhadh a tha a’ dèanamh an loidhne-suathadh ris a’ chearcall.
Eisimpleirean Iarrtais
Eisimpleir 1: A’ dearbhadh co-aontar loidhne-suathaidh
Abair gu bheil cearcall againn leis a’ cho-aontar \( (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \) agus gu bheil sinn airson co-aontar na loidhne-suathaidh a tha a’ dol tron phuing \((-1, 5)\) fhaighinn a-mach.
An toiseach, bidh sinn a’ dèanamh cinnteach a bheil am puing air a’ chearcall. A’ cur \((x, y) = (-1, 5)\) a-steach do cho-aontar a’ chearcaill:
[(-1 – 3)^2 + (5 + 4)^2 = (-4)^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97]
Leis gu bheil 97 ≈ 25 den phuing seo, chan eil e air a’ chearcall. Ach, is urrainn dhuinn fhathast loidhne a lorg a’ dol tron phuing seo agus ceart-cheàrnach ris an radius aig a’ phuing-suathaidh.
An toiseach, lorg sinn claonadh an radius a tha a’ dol tron phuing:
[m_{radius} = \frac{5 + 4}{-1 – 3} = \frac{9}{-4} = -\frac{9}{4} \]
Mar sin, is e claonadh na loidhne-suathaidh:
[m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = \frac{4}{9} \]
Is e co-aontar na loidhne-suathaidh a’ cleachdadh a’ chlaonaidh seo agus a’ dol tron phuing \((-1,5)\):
[y – 5 = \frac{4}{9}(x + 1)]
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd geoimeatrach glè bhunasach a th’ ann an co-aontar suaicheantas ri cearcall, ach tha tagraidhean farsaing aice ann an raon farsaing de raointean. Le bhith a’ tuigsinn feartan suaicheantasan agus na dòighean airson na co-aontaran aca a dhearbhadh, is urrainn dhuinn a’ bhun-bheachd seo a chur an sàs gus fuasgladh fhaighinn air raon farsaing de dhuilgheadasan ann am matamataig agus saidheans.
Bidh tuigse air cearcallan agus tangantan cuideachd a’ fosgladh seallaidhean nas fharsainge air leasachadh saidheans, gu sònraichte ann am matamataig anailiseach. Tro dhòigh-obrach shiostamach, is urrainn dhuinn diofar eileamaidean a cheangal ann an àite dà-mheudach, a’ neartachadh ar tuigse air bunaitean geoimeatrach a dh’ fhaodadh a bhith na bhunait airson tuilleadh rannsachaidh ann an geoimeatraidh agus mion-sgrùdadh fànais.
