A’ sgrìobhadh an t-atharrachadh de ghnìomh
Pendahuuan
Ann am matamataig, gu h-àraidh calculus, 's e bun-bheachd a th' anns an t-toradh a tha a' cluich pàirt chudromach ann an raon farsaing de thagraidhean. Bithear a' cleachdadh toraidhean chan ann a-mhàin ann am matamataig teòiridheach ach cuideachd ann an saidheans, innleadaireachd, eaconamas, agus mòran chuspairean eile. Bruidhnidh an t-artaigil seo air toraidh gnìomh gu mionaideach, a' còmhdach a bhun-bheachdan, riaghailtean cudromach, agus eisimpleirean tagraidh.
Bun-bheachdan nan Toraidhean
Mìneachadh air Toraidhean
Tha an t-atharrachadh de ghnìomh a’ toirt cunntas air ìre atharrachaidh na gnìomh a thaobh a caochladair neo-eisimeileach. Gu h-intuitive, faodar an t-atharrachadh a mhìneachadh mar leathad na loidhne-suathaidh a tha a’ beantainn ri graf na gnìomh aig puing.
Ma tha y = f(x)), tha a’ chiad thoradh de f a thaobh x air a chomharrachadh le f'(x) no frac{dy}{dx}. Tha mìneachadh foirmeil an toraidh air a thoirt seachad leis a’ chrìoch a leanas:
[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} \]
Nota Derivative
Tha grunn chomharran ann a thathas a’ cleachdadh gu cumanta ann a bhith a’ sgrìobhadh thoraidhean:
1. Comharradh Leibniz: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Comharradh Lagrange: \( f'(x) \)
3. Comharradh Newton: \(y' \)
4. Comharradh Euler: \( Df(x) \)
Tha cleachdaidhean agus co-theacsan sònraichte aig gach comharradh anns a bheil iad air an cleachdadh nas cumanta.
Riaghailtean Bunasach ann an Eadar-dhealachadh
Riaghailtean Cur-ris is Thoirt-às
Ma tha \(f(x) \) agus \(g(x) \) nan dà ghnìomh eadar-dhealaichte, an uairsin:
[\frac{d}{dx} [f(x) ∫/g(x)] = f'(x) ∫/g'(x)]
Riaghailtean Iomadachaidh
Airson dà ghnìomh \(u(x) \) agus \(v(x) \):
[\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)]
Riaghailtean Roinneadh
Ma tha \(u(x) \) agus \(v(x) \) nan dà ghnìomh, agus \(v(x) \) ≤ 0 \):
[ \frac{d}{dx} ] [ \frac{u(x)}{v(x)] = \frac{u'(x) ⋅ v(x) – u(x) ⋅ v'(x)}{[v(x)]^2}
Riaghailt na Slabhraidh
Airson co-dhèanamh dà ghnìomh \( f(u) \) agus \( u(g) \):
[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) ⋅ g'(x)]
Eisimpleirean de Thagraidhean
Toraidhean de Ghnìomhan Polainomach
Ma tha \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). Gus an t-atharrachadh den ghnìomh seo a lorg, bidh sinn a’ cleachdadh riaghailtean bunaiteach an eadar-dhealachaidh.
[f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1)]
[f'(x) = 9x^2 – 10x + 2]
Toraidhean de Ghnìomhan Eas-chruthach agus Logaritmach
Ma tha \( f(x) = e^x \), is e an t-atharrachadh den ghnìomh eas-chruthach:
[f'(x) = e^x]
Airson an gnìomh logarithm nàdarrach \( f(x) = \ln(x) \):
[f'(x) = \frac{1}{x} \]
Toraidhean de Ghnìomhan Triantan-eòlach
Airson gnìomhan trigonometric bunaiteach:
– Ma tha f(x) = sin(x)), an uairsin tha f'(x) = cos(x)
– Ma tha f(x) = cos(x)), an uairsin tha f'(x) = -sin(x)
– Ma tha f(x) = tan(x)), an uairsin f'(x) = sec²(x)
Toradh Gnìomh Co-dhèanta
Ma tha \(f(x) = \sin(2x) \). Is urrainn dhuinn riaghailt na slabhraidh a chur an sàs:
[f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Toraidhean Adhartach
Dàrna agus Toraidhean às dèidh sin
’S e an dàrna tùs-thoradh tùs-thoradh a’ chiad ghnìomh tùs-thoraidh. Ma tha y = f(x), tha an dàrna tùs-thoradh air a chomharrachadh le f”(x) no frac{d²y}{dx²). Agus mar sin air adhart airson an treas tùs-thoradh f”'(x) no frac{d³y}{dx³).
Ma tha thu a’ gabhail ris gu bheil (f(x) = x^4):
[f'(x) = 4x^3]
[f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
[f"'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
[f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Cleachdaidhean Dhiofar ann am Fiosaigs
Ann am fiosaig, bidh toraidhean gu tric air an cleachdadh gus astar agus luathachadh a dhearbhadh. Ma tha s(t) na ghnìomh de shuidheachadh a thaobh ùine t. Is e astar v(t) a’ chiad thoradh de shuidheachadh:
[v(t) = s'(t)]
Is e luathachadh \(a(t) \) a’ chiad tùs-thoradh de astar no an dàrna tùs-thoradh de shuidheachadh:
[ a(t) = v'(t) = s”(t) ]
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd bunaiteach ann an àireamhachd a th’ ann an toraidh gnìomh le tagraidhean farsaing thar diofar raointean. Tha tuigse fhurasta air an toraidh mar leathad loidhne-suathaidh a’ toirt seachad seallaidhean cudromach air feartan agus giùlan gnìomh. Tha tuigse agus comas riaghailtean eadar-dhealachaidh leithid riaghailt an t-slabhraidh, riaghailt an toraidh, agus riaghailt an roinneadh riatanach do dhuine sam bith a tha ag ionnsachadh àireamhachd. Tro eisimpleirean agus tagraidhean sìmplidh ann am fiosaig, tha an artaigil seo an dòchas tuigse fharsaing a thoirt seachad air sgrìobhadh toraidh gnìomh.
