Iarrtas Amalaichte
’S e bun-bheachd bunaiteach a th’ ann an integrailean ann am matamataig, gu h-àraidh calculus. Tha pàirt riatanach aig integrailean ann an diofar raointean saidheans is teicneòlais, a’ gabhail a-steach fiosaig, innleadaireachd, eaconamas, bith-eòlas, agus barrachd. San artaigil seo, nì sinn sgrùdadh air cleachdaidhean integrailean ann an diofar cho-theacsan, an dà chuid teòiridheach agus practaigeach. Faodar cleachdaidhean integrailean a roinn ann an grunn roinnean farsaing, leithid lorg farsaingeachd, obrachadh a-mach meud, mion-sgrùdadh eaconamach, modaladh corporra, agus dealbhadh innleadaireachd.
1. A’ lorg farsaingeachd sgìre
Is e aon de na cleachdaidhean as aithnichte de dh’integralan an raon fon lùb de ghnìomh sònraichte a lorg. Mar eisimpleir, ma tha gnìomh againn \(f(x) \), faodar an raon a tha air a chuartachadh leis a’ lùb eadar dà phuing \(a\) agus \(b\) air an x-axis a lorg le bhith a’ cleachdadh an integral a leanas:
[\text{Farsaingeachd} = \int_{a}^{b} f(x)\, dx \]
Mar eisimpleir, smaoinich air an gnìomh loidhneach sìmplidh \(f(x) = 2x \). Gus an raon fon lùb a lorg bho \(x = 0 \) gu \(x = 3 \):
[ Farsaingeachd = _{0}^{3} 2x , dx = [x^2 deas]_{0}^{3} = 3^2 – 0^2 = 9 ]
Tha farsaingeachd na sgìre 9 aonadan sgìreil.
2. A’ tomhas meud
A bharrachd air farsaingeachd sgìre a lorg, faodar integralan a chleachdadh cuideachd gus meud nì a tha air a chuartachadh le lùb no uachdar obrachadh a-mach. Am measg nan dòighean cumanta airson meud obrachadh a-mach tha an dòigh diosc agus an dòigh siolandair.
2.1 Modh Diosc
Tha an dòigh diosc air a chleachdadh gus meud nì chruaidh obrachadh a-mach a gheibhear le bhith a’ tionndadh lùb timcheall air aon axis. Mar eisimpleir, is e meud an nì a gheibhear le bhith a’ tionndadh na lùbe (y = f(x)) timcheall air an x-axis bho (x = a) gu (x = b):
[Meud = π a^{b} (f(x))^2, dx]
Mar eisimpleir, gus an tomhas-lìonaidh a lorg a gheibhear le bhith a’ tionndadh na lùba (y = \sqrt{x}) bho (x = 0) gu (x = 2):
[ Meud-lìonaidh = π_{0}^{2} (x)^2, dx = π_{0}^{2} x, dx = π [ x^2}{2]_{0}^{2} = π ( frac{4}{2} – 0) = 2π]
2.2 Modh an t-siolandair
Tha an dòigh siolandair air a chleachdadh gus meud nì chruaidh obrachadh a-mach le bhith a’ tionndadh lùb timcheall air an axis-y. A’ cleachdadh bun-bheachd snàthainn chòmhnard (aiseach):
[Meud = 2 π a^b x f(x), dx]
Mar eisimpleir, a’ tomhas-lìonaidh a gheibhear le bhith a’ tionndadh na lùba (y = x^2) bho (x = 0) gu (x = 1) timcheall air an y-axis:
[ Meud = 2 π_{0}^{1} x ⋅ x², dx = 2 π_{0}^{1} x², dx = 2 π [ x^4}{4] ⋅{0}^{1} = 2 π ( frac{1}{4} – 0) = π{2}]
3. Mion-sgrùdadh Eaconamach
Ann an eaconamas, thathas a’ cleachdadh integralan airson diofar adhbharan, leithid obrachadh a-mach barrachas riochdairean is luchd-cleachdaidh agus ro-innse fàs eaconamach. Mar eisimpleir, faodar barrachas luchd-cleachdaidh obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh integralan gus an diofar a dhearbhadh eadar na tha luchd-cleachdaidh deònach a phàigheadh agus na tha iad dha-rìribh a’ pàigheadh.
Mar eisimpleir, ma tha an gnìomh iarrtas \(p(x) \) a’ comharrachadh a’ phrìs a tha luchd-cleachdaidh deònach a phàigheadh airson \(x \) aonadan de bhathar, agus ma tha \(p_0 \) na phrìs margaidh, is e barrachas luchd-cleachdaidh bho 0 gu \(x_0 \):
\[ \text{Barrachd Luchd-cleachdaidh} = \int_{0}^{x_0} p(x)\, dx – p_0 \times x_0 \]
Is e eisimpleir eile a bhith a’ tomhas luach làithreach sruth de shruthan airgid san àm ri teachd le bhith a’ cur bun-bheachd lasachaidh an sàs. Ma thèid na sruthan airgid san àm ri teachd \(C(t) \) a lasachadh gu leantainneach aig ìre lasachaidh \(r \), is e an luach làithreach \(PV \):
[PV = \int_{0}^{T} C(t) e^{-rt}\, dt \]
4. Modaladh Fiosaigs
Tha pàirt chudromach aig integrailean ann am fiosaig, gan cleachdadh ann a bhith a’ cur diofar laghan fiosaig ann an co-theacsa agus a’ cur ri mion-sgrùdadh shiostaman fiùghantach.
4.1 Laghan Gluasaid
Mar eisimpleir, ann am fiosaig chlasaigeach, faodar laghan gluasaid Newton a chur an cèill ann an cruth iomlan. Gheibhear suidheachadh nì mar ghnìomh ùine le bhith ag amalachadh a luaths:
[ x(t) = x(0) + \int_{0}^{t} v(τ)\, dτ]
4.2 Feallsanachdan electromagnetic
Ann an electromagnetism, tha integrailean cuideachd nam bunait do bhun-bheachdan cudromach leithid lagh Gauss agus lagh Ampère. Mar eisimpleir, lagh Gauss airson raon dealain:
[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0} \]
San aon dòigh, ann an àite Hamiltonian airson siostaman teirmeo-dhinimigeach, thathas a’ cleachdadh integrailean gus meanbh-rèiteachadh obrachadh a-mach a tha co-chòrdail ri lùth sònraichte.
5. Dealbhadh Innleadaireachd
Ann an innleadaireachd, thathar a’ cleachdadh integralan gus cuideaman, deformachaidhean, agus sgaoileadh stuthan a sgrùdadh. Mar eisimpleir, ann am meacanaig stuthan, feumaidh integral dùbailte a bhith ann gus mionaid inertia earrann-tarsainn obrachadh a-mach.
5.1 Mionaid neo-sheasmhachd
Tha mionaid neo-sheasmhachd \(I \) na sgìre \(A \) timcheall air an ais-y air a thoirt seachad le:
[I_y = \int_{A} x^2\, dA \]
Ma nì sinn sgrùdadh air ceart-cheàrnach le leud b agus àirde h, is e a mhionaid inertia:
[I_y = \int_{0}^{h} \int_{0}^{b} x^2\, dx\, dy = \frac{bh^3}{12} \]
Mar cho-dhùnadh, tha tagraidhean integralan farsaing agus a’ còmhdach mòran raointean. Bidh integralan a’ cuideachadh le bhith a’ fuasgladh dhuilgheadasan iom-fhillte anns a bheil àireamhachadh leantainneach agus atharrachaidhean nach gabh fhuasgladh le bhith a’ cleachdadh dhòighean fa leth. Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, chì sinn cho cudromach agus cho buadhach sa tha integralan ann a bhith a’ sgrùdadh agus a’ fuasgladh diofar shuidheachaidhean fìor. Leigidh tuigse mhionaideach air integralan le luchd-saidheans, innleadairean agus eaconamaichean modalan a chruthachadh, dàta a sgrùdadh agus co-dhùnaidhean nas fheàrr a dhèanamh.
