Cleachdadh Iomlaidean ann am Fiosaigs
’S e bun-bheachd matamataigeach bunaiteach a th’ ann an iomlaidean ann an diofar raointean saidheans, a’ gabhail a-steach fiosaig. Ann am fiosaig, thathas a’ cleachdadh iomlaidean gus diofar mheudan obrachadh a-mach leithid suidheachadh, astar, lùth, agus barrachd. Chan eil bun-bheachd nan iomlaidean cuingealaichte ri meacanaig chlasaigeach ach tha e a’ leudachadh gu electromagnetism, teirmodynamics, meacanaig cuantamach, agus mòran raointean eile. Nì an t-artaigil seo sgrùdadh air mar a thathas a’ cleachdadh iomlaidean ann an diofar thaobhan de fiosaig agus bheir e eisimpleirean concrait gus an cudromachd a thuigsinn.
1. Integralan ann am Meacanaig Chlasaigeach
'S e meacanaig chlasaigeach meur de fiosaig a bhios a' cleachdadh integralan gu farsaing. Bithear a' cleachdadh integralan gus gluasad nithean a mhìneachadh, an dà chuid eadar-theangachaidh agus rothlach.
An Dàrna Lagh aig Newton
Ann an co-theacsa meacanaig chlasaigeach, tha an Dàrna Lagh aig Newton ag ràdh gu bheil an fheachd a tha ag obair air nì co-rèireach ris an atharrachadh ann am momentum an nì sin. Ann an cruth matamataigeach, tha seo sgrìobhte mar:
[F = \frac{d(p)}{dt} \]
far a bheil \(p \) na ghluasad (toradh mais agus astar: \(p = mv \)). Gus astar nì a lorg bhon fheachd a chaidh a chur an sàs, bidh sinn a’ dèanamh co-thàthadh a thaobh ùine:
[v(t) = \int a \, dt = \int \frac{F}{m} \, dt \]
Agus gus suidheachadh an nì a lorg bhon astar, bidh sinn a’ dèanamh an integral a-rithist thar ùine:
[x(t) = \int v(t) \, dt \]
Obraichean agus Lùth
Tha bun-bheachd an integrail cuideachd air a chleachdadh ann a bhith ag obrachadh a-mach na h-obrach a nì feachd air nì. Tha obair (\(W\)) air a mhìneachadh mar integral na feachd (\(F\)) air an t-slighe a shiubhail an nì:
[W = \int F \cdot dx \]
Is e an eisimpleir as sìmplidh nuair a bhios feachd sheasmhach ag obair air nì ann an taobh a ghluasad. Ach, ma dh’atharraicheas an fheachd air an t-slighe sin, feumaidh sinn co-iomlan a chleachdadh gus an obair iomlan a chaidh a dhèanamh a lorg.
2. Integralan ann an Electromagnetism
'S e meur de fiosaigs a th' ann an dealan-mhagnetachd a bhios a' sgrùdadh iongantas dealain is magnetach. Leasaich Maxwell seata de cho-aontaran a chuir buaidhean dealain is magnetach còmhla gus teòiridh choileanta a chruthachadh. Tha pàirt chudromach aig iomlaidean ann a bhith a' fuasgladh nan co-aontaran seo.
Lagh Gauss
Tha lagh Gauss ann an cruth iomlan ag ràdh gu bheil an sruth dealain a-mach tro uachdar dùinte co-rèireach ris a’ chosgais iomlan taobh a-staigh an uachdair sin. Ann an co-aontar, tha seo sgrìobhte mar:
[\point_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{anns a' chùl}}{\epsilon_0} \]
Far a bheil \(\mathbf{E}\) na raon dealain, \(d\mathbf{A}\) na eileamaid farsaingeachd, \(Q_{\text{enclosed}}\) na luchd dùinte, agus \(\epsilon_0\) na cheadachd falamh.
Inntrigeadh electromagnetic
Tha co-aontar Faraday-Henry a’ mìneachadh prionnsabal an ionduchtachaidh electromagnetic ann an cruth iomlan:
\[ \oint_{ \partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} \]
Far a bheil \(\mathbf{E}\) na raon dealain, \(\mathbf{B}\) na raon magnetach, \(d\mathbf{l}\) na eileamaid stiùiridh air slighe dhùinte, agus \(d\mathbf{A}\) na eileamaid farsaingeachd. Tha an co-aontar seo a’ sealltainn mar as urrainn do raon magnetach a tha ag atharrachadh ann an roinn raon dealain cuairteachaidh a chruthachadh timcheall na roinne sin.
3. Integralan ann an Teirmeadainimic
Ann an teirmeadainimic, thathar a’ cleachdadh integrailean gus mòran phròiseasan a chòmhdach agus diofar ghnìomhan teirmeadainimic obrachadh a-mach.
Obair ann an Gas
Airson pròiseasan teirmeadainimigeach sònraichte, leithid leudachadh no teannachadh gas ann an siolandair, faodar an obair a chaidh a dhèanamh obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh an iom-fhillte de chuideam thairis air tomhas-lìonaidh:
[ W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV \]
Far a bheil \(W\) na obair, \(P\) na chuideam, agus \(V_i\) agus \(V_f\) nan tomhas-lìonaidh tùsail agus deireannach.
Lùth a-staigh
Tha lùth a-staigh (\(U\)) cuideachd na bhun-bheachd riatanach ann an teirmeadainimig. Tha e a’ toirt a-steach lùth nan gràineanan beaga bìodach uile anns an t-siostam. Tha na h-atharrachaidhean aige air an comharrachadh le teas (\(Q\)) agus obair (\(W\)):
[Delta U = Q – W]
Ma tha teas agus obair nan gnìomhan de dhiofar chaochladairean eile (leithid teòthachd, meud, msaa.), feumaidh sinn amalachadh gus an t-atharrachadh iomlan ann an lùth anns an t-siostam fhaighinn.
4. Integralan ann am Meacanaig Cuantamach
Bidh meacanaig cuantamach a’ cleachdadh iomlain gus co-aontar Schrödinger fhuasgladh agus gus sgaoileadh coltachd mìrean a mheasadh.
Co-aontar Schrödinger
Ann am meacanaig cuantamach, tha mean-fhàs ùine siostam cuantamach air a mhìneachadh leis a’ cho-aontar Schrödinger. Feumaidh fuasgladh a’ cho-aontar seo amalachadh ann am mòran chùisean, gu sònraichte gus gnìomh na tonn (\(\psi\)) a lorg:
[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} psi(\mathbf{r}, t)]
Far a bheil H na obraiche Hamiltonian anns a bheil lùth cineatach agus lùth comasach. Gus an co-aontar seo fhuasgladh, bidh sinn tric a’ dèanamh integral thairis air àite agus ùine.
Cothrom agus Luach ris a bheil dùil
Bidh an gnìomh tonn a’ toirt a-mach sgaoileadh coltachd suidheachadh agus gluasad mìrean. Cleachdar iomlaidean gus luach dùil rud sònraichte a ghabhas amharc obrachadh a-mach:
\[ \langle O \rangle = \int \psi^ \hat{O} \psi \, d\tau \]
far a bheil \(\hat{O}\) na obraiche a ghabhas amharc, \(\psi^ \) na cho-chuingealaiche iom-fhillte den ghnìomh tonn, agus \(d\tau\) na eileamaid toirte anns an àite rèiteachaidh.
Co-dhùnadh
Tha integralan nan inneal cumhachdach ann am fiosaig, a’ toirt seachad dòigh eireachdail airson dèiligeadh ri duilgheadasan anns a bheil atharrachadh leantainneach. Bho àireamhachadh sìmplidh ann am meacanaig chlasaigeach gu fuasglaidhean iom-fhillte ann am meacanaig cuantamach, tha pàirt chudromach aig integralan ann a bhith a’ tuigsinn iongantas fiosaigeach. Le bhith a’ maighstireachd bun-bheachd nan integralan, is urrainn dhuinn sgrùdadh nas doimhne a dhèanamh agus diofar dhuilgheadasan ann am fiosaig fhuasgladh nas èifeachdaiche agus nas cruinne.
