Luach ris a bheil dùil de Sgaoileadh Binomial
’S e an sgaoileadh binomial aon de na sgaoilidhean coltachd sgarach as cumanta ann an staitistig agus coltachd. Tha an sgaoileadh seo a’ toirt cunntas air an àireamh de shoirbheasan ann an sreath de dheuchainnean binary neo-eisimeileach (deuchainnean le dìreach dà thoradh: soirbheachas no fàilligeadh). Gus tuigse nas fheàrr fhaighinn air an sgaoileadh binomial, tha e cudromach tuigse fhaighinn air bun-bheachd luach dùil, a tha a’ toirt cunntas air luach cuibheasach deuchainn a thèid ath-aithris thar ùine fhada. Nì an t-artaigil seo ath-sgrùdadh air bun-bheachd luach dùil ann an co-theacsa an t-sgaoilidh binomial.
Mìneachadh air Sgaoileadh Binomial
Bidh an sgaoileadh binomial ag èirigh ann an co-theacsan far am bi sinn a’ dèanamh grunn dheuchainnean co-ionann agus neo-eisimeileach, agus tha dà thoradh aig gach deuchainn a tha a’ cur às dha chèile, ris an canar mar as trice “soirbheachas” agus “fàilligeadh.” Mar eisimpleir, bonn a thilgeil (cinn no earbaill), ceist deuchainn a fhreagairt (fìor no meallta), no deuchainn mheidigeach (air a leigheas no gun a leigheas).
Tha an sgaoileadh binomial air a mhìneachadh le dà pharaimeatair:
– n, àireamh dheuchainnean.
– p , coltachd soirbheachais air gach deuchainn.
Gu garbh, ma tha X na chaochladair air thuaiream a’ riochdachadh an àireamh de shoirbheasan ann an n deuchainnean, tha X a’ leantainn sgaoileadh binomial le paramadairean n agus p, air an comharrachadh mar X ~ Binomial(n, p).
Gnìomh Cothromachd
Seo mar a leanas gnìomh coltachd an t-sgaoilidh dà-thaobhach:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p) ^{nk} \]
Càite:
– ’S e \( \binom{n}{k} \) an co-èifeachd binomial, a tha air a thomhas mar \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– ’S e \(k \) an àireamh de shoirbheasan a tha thu ag iarraidh.
– ’S e \(n \) an àireamh dheuchainnean.
– ’S e \(p \) coltachd soirbheachais air gach deuchainn.
– Is e \( (1-p) \) coltachd fàilligeadh anns gach deuchainn.
Luach ris a bheil dùil
’S e luach dùil no meadhan cuairteachaidh coltachd aon de na tomhasan as cudromaiche de shuidheachadh meadhanach. Airson an cuairteachaidh dà-thaobhach, is e luach dùil caochladair air thuaiream X a leanas Binomial(n, p):
[E(X) = np]
Dearbhadh air Luach ris a bheil dùil
Gus tuigsinn carson a tha luach dùil an t-sgaoilidh dà-thomaich co-ionann ri np, is urrainn dhuinn feart loidhneachd an luach dùil a chleachdadh agus faicinn mar a tha na caochladairean dà-thomaich a’ cur suas ris a’ chuibhreann aca.
Mìnicheamaid \(X \) mar an àireamh shoirbheasan ann an n deuchainnean dà-chànanach. Gu sònraichte, biodh \(X_i \) na chaochladair air thuaiream a’ comharrachadh toradh an i-mh deuchainn, le \(X_i = 1 \) ma tha an i-mh deuchainn soirbheachail, agus \(X_i = 0 \) ma tha e na fhàilligeadh. An uairsin, is urrainn dhuinn \(X \) a sgrìobhadh mar:
[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Leis gur caochladair dà-chànanach a th’ ann an gach \(X_i \) le coltachd soirbheachais p, is e luach dùil \(X_i \) a th’ ann:
[E(X_i) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ (1-p) = p]
Is urrainn dhuinn feart loidhneachd luach dùil a chleachdadh airson luach dùil X:
[E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n)]
[E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ∫ + E(X_n)]
[E(X) = p + p + ∫+ p]
[E(X) = np]
Tha seo a’ sealltainn gur e np an luach ris a bheil dùil den t-sgaoileadh binomial.
Eisimpleir Dealbhach
Beachdaich air a’ chùis far a bheil sinn a’ tilgeil bonn cothromach 10 tursan. Feuchaidh sinn ri faighneachd dè an luach ris a bheil dùil a bhiodh aig an àireamh de thilgeil a bheireadh cinn mar thoradh air.
Anns a’ chùis seo:
– n = 10 (àireamh de thilgeil bonn)
– p = 0.5 (coltachd ceann fhaighinn, leis gu bheil am bonn cothromach)
Mar sin, is e an luach ris a bheil dùil:
[E(X) = np = 10 × 0.5 = 5]
Tha seo a’ ciallachadh ma thilgeas sinn bonn 10 tursan a-rithist is a-rithist san fhad-ùine, gum faigh sinn ceann 5 tursan air cuibheasach.
Caochlaideachd agus Claonadh Coitcheann
A bharrachd air an luach ris a bheil dùil, tha e cudromach cuideachd tuigsinn an caochlaideachd agus an claonadh àbhaisteach den t-sgaoileadh binomial.
Airson an t-sgaoilidh dà-thomach, tha an caochlaideachd \( \sigma^2 \) agus an claonadh àbhaisteach \( \sigma \) mar a leanas:
[ \sigma^2 = np(1-p) \]
[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Tha an caochlaideachd a’ tomhas dè cho fada ‘s a tha an dàta air a sgaoileadh bhon luach ris a bheil dùil. Is e freumh ceàrnagach an atharrachaidh an claonadh àbhaisteach agus tha e cuideachd a’ tomhas sgaoileadh an dàta, ach anns na h-aon aonadan ris an dàta tùsail.
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd bunaiteach ann an staitistig agus coltachd a th’ anns an sgaoileadh binomial, a lorgar gu tric ann an diofar thagraidhean san t-saoghal fhìor, bho ghnìomhachas gu saidheansan sòisealta agus bith-eòlas. Tha luach dùil an t-sgaoilidh binomial, air a thomhas mar np, a’ toirt sealladh cudromach air an àireamh chuibheasach de shoirbheasan ann an sreath de dheuchainnean binary. Le bhith a’ tuigsinn bun-bheachdan luach dùil, caochlaideachd, agus claonadh àbhaisteach, is urrainn dhuinn tuigse nas soilleire fhaighinn air feartan an t-sgaoilidh binomial agus mar a tha e a’ toirt cunntas air cuid de rudan ann am beatha làitheil.
Tha an t-eòlas seo air leth feumail chan ann a-mhàin ann an mion-sgrùdadh dàta agus staitistig, ach cuideachd ann an co-dhùnaidhean a dh’ fheumas measadh a dhèanamh air coltachd agus mì-chinnt. Faodaidh tuigse air luach dùil agus an sgaoileadh binomial ar cuideachadh le bhith a’ dèanamh ro-innsean nas cruinne agus co-dhùnaidhean nas fiosraichte.
