Measgachadh
Pendahuuan
Ann am matamataig, 's e bun-bheachd a th' ann an cothlamadh a thathar a' cleachdadh gus an àireamh de dhòighean airson seata de nithean a thaghadh a dhearbhadh gun aire a thoirt don òrdugh aca. Bithear a' cleachdadh cothlamadh gu tric ann an diofar raointean saidheans, a' gabhail a-steach staitistig, coltachd, agus coimpiutaireachd, a bharrachd air ann am beatha làitheil, leithid clàradh, geamannan cairt, agus barrachd. Nì an t-artaigil seo sgrùdadh domhainn air bun-bheachd nan cothlamadh, na foirmlean a thathar a' cleachdadh, agus cuid de na cleachdaidhean practaigeach aca.
Mìneachadh air Co-mheasgachadh
Is e cothlamadh dòigh air grunn nithean a thaghadh bho sheata gun aire a thoirt don òrdugh anns an deach an taghadh. Ma tha \(n \) nithean eadar-dhealaichte ann agus ma tha sinn airson \(r \) nithean a thaghadh bhon t-seata, faodar an cothlamadh a chur an cèill leis an comharradh \(C(n, r) \) no \( \binom{n}{r} \).
Foirmle Measgachaidh
Is e am foirmle airson àireamh nan cothlamadh obrachadh a-mach \( \binom{n}{r} \):
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (nr)!} \]
Far a bheil \(n! \) (leugh “n factorial”) na thoradh nan àireamhan slàn dearbhach uile suas gu \(n \). Mar eisimpleir, \(5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 \).
Eisimpleir Àireamhachaidh Co-mheasgaichte
Abair gu bheil 5 nithean eadar-dhealaichte againn, agus gu bheil sinn airson 3 nithean a thaghadh bhon t-seata. Cia mheud dòigh as urrainn dhuinn seo a dhèanamh?
A’ cleachdadh foirmle na co-mheasgachaidh:
[\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 \]
Mar sin, tha 10 dòighean ann airson 3 nithean a thaghadh à 5 nithean gun aire a thoirt don òrdugh.
Measgachaidhean ann an Cothromachd
Bithear tric a’ cleachdadh measgachaidhean ann an coltachd gus coltachd tachartais a dhearbhadh. Mar eisimpleir, ann an geamannan cairt, is urrainn dhuinn measgachaidhean a chleachdadh gus coltachd làmh sònraichte fhaighinn obrachadh a-mach.
Eisimpleir 1: Geama Cairtean
Ma tha sinn airson coltachd paidhir de dh’Aisean fhaighinn ann an còig cairtean a thèid a thoirt bho dheic àbhaisteach de 52 cairt obrachadh a-mach. Is urrainn dhuinn measgachadh a chleachdadh gus an àireamh iomlan de dhòighean airson còig cairtean a thaghadh bho 52 cairt agus an àireamh de dhòighean airson dà Ace a thaghadh bho cheithir Aces obrachadh a-mach.
Dòighean iomlan airson 5 cairtean a thaghadh à 52:
[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Mar a thaghas tu 2 Aces bho 4 Aces:
[\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \]
Mar a thaghas tu 3 cairtean bhon 48 cairtean a tha air fhàgail (leis gu bheil 2 chairt air an taghadh mu thràth bhon 4 Aces):
[ \binom{48}{3} = \frac{48!}{3! \cdot 45!} \]
Mar sin, is e seo an coltachd gum faigh thu dà Ace ann an làmh còig cairtean:
[P = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3}}{\binom{52}{5}}]
Measgachaidhean ann an Staitistig
Ann an staitistig, thathar a’ cleachdadh measgachaidhean ann an diofar mhion-sgrùdaidhean, a’ gabhail a-steach samplachadh agus deuchainn barailean. Bidh measgachaidhean a’ cuideachadh le bhith a’ dearbhadh cia mheud dòigh a th’ ann airson sampall sònraichte a thaghadh bho shluagh.
Eisimpleir 2: Samplachadh
Abair gu bheil sluagh de 20 neach againn agus gu bheil sinn airson sampall de 4 daoine a thaghadh. Is urrainn dhuinn measgachadh a chleachdadh gus an àireamh de dhòighean airson an sampall sin a thaghadh a dhearbhadh.
[ \binom{20}{4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} \]
Tha an àireamh seo a’ toirt seachad fiosrachadh cudromach ann an diofar mhion-sgrùdaidhean staitistigeil, leithid ann an àireamhachadh coltachd no tuairmse paramadair.
Teòiridh Co-mheasgachaidh agus Àireamhan
Tha pàirt chudromach aig cothlamadh ann an teòiridh àireamhan cuideachd, gu h-àraidh ann an co-theacsa co-èifeachdan dà-thaobhach agus dearbh-aithnean matamataigeach eile. Mar eisimpleir, bidh an Teoirim Dà-thaobhach a’ cleachdadh cothlamadh gus abairtean ailseabra a leasachadh.
Teoirim dà-thaobhach
Tha an Teoirim Binomial ag ràdh:
\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{nk} y^k \]
An seo, tha an co-èifeachd binomial n/k a’ comharrachadh an àireamh dhòighean air k nithean a thaghadh bho n nithean.
Tagraidhean Co-mheasgaichte ann am Beatha Làitheil
Chan eil bun-bheachd nan cothlamadh air a chuingealachadh ri matamataig teòiridheach a-mhàin, ach tha mòran thagraidhean practaigeach aige ann am beatha làitheil cuideachd.
Eisimpleir 3: Roghainnean Clàr-ama
Abair gu bheil 5 obair-dachaigh againn ri chrìochnachadh ann an seachdain, agus gu bheil sinn airson 3 a thaghadh airson obrachadh orra Diluain. Is urrainn dhuinn measgachadh a chleachdadh gus an àireamh de dhòighean airson 3 obair-dachaigh a thaghadh bhon 5 sin a dhearbhadh.
[ \binom{5}{3} = 10 \]
Mar sin, tha 10 dòighean ann airson an clàr-ama a chur air dòigh.
Eisimpleir 4: Roghainnean Bidhe
Abair gu bheil clàr-bìdh againn le 10 roghainnean bìdh, agus gu bheil sinn airson 4 soithichean a thaghadh airson pàrtaidh. Is urrainn dhuinn measgachadh a chleachdadh gus an àireamh de dhòighean airson 4 soithichean a thaghadh à 10 a dhearbhadh.
[ \binom{10}{4} = 210 \]
Mar sin, tha 210 dòigh ann airson 4 biadhan a thaghadh à 10 roghainnean.
Co-dhùnadh
Tha measgachadh nam bun-bheachd deatamach ann am matamataig agus tha cleachdaidhean farsaing aca ann an diofar raointean saidheans agus beatha làitheil. Le bhith a’ tuigsinn bun-bheachd measgachadh agus mar a nì sinn obrachadh a-mach iad, is urrainn dhuinn diofar dhuilgheadasan fhuasgladh nas fhasa a tha a’ toirt a-steach taghadh nithean gun aire a thoirt don òrdugh. Tha measgachadh feumail ann an àireamhachadh coltachd, mion-sgrùdadh staitistigeil, teòiridh àireamhachd, agus eadhon ann a bhith ag eagrachadh ghnìomhachdan làitheil. Tha sinn an dòchas gun tug an t-artaigil seo tuigse nas fheàrr dhuinn air measgachadh agus cho feumail ‘s a tha iad ann an diofar cho-theacsan.
