Dàimh eadar Fad a’ Bhogha agus Farsaingeachd na Roinne
Ann am matamataig, gu h-àraidh ann an geoimeatraidh plèana, tha bun-bheachdan cudromach ann a tha a’ buntainn ri cearcallan. Is e dà phrìomh bhun-bheachd air a bheil sinn tric a’ bruidhinn fad a’ bhogha agus farsaingeachd na roinne. Le deagh thuigse air an dà bhun-bheachd seo, is urrainn dhuinn diofar thaobhan de chearcallan obrachadh a-mach, ge bith an ann an leasanan matamataigs san fharsaingeachd, ann an tagraidhean teicnigeach, no ann am beatha làitheil.
Mìneachadh air Cearcall
Mus tèid sinn nas fhaide, tha e feumail tuigsinn dè a th’ ann an cearcall. Is e cearcall an seata de na puingean uile ann am plèana a tha aig astar stèidhichte bho phuing sònraichte ris an canar am meadhan. Canar radius a’ chearcaill ris an astar stèidhichte seo. Tha grunn eileamaidean cudromach aig cearcall, nam measg:
1. Meadhan-phuing (O): Am puing stèidhichte às a bheilear a’ tomhas astaran nan puingean eile uile sa chearcall.
2. Radius (r): An t-astar bhon phuing mheadhanach gu puing sam bith air a’ chearcall.
3. Trast-thomhas (d): An t-astar as fhaide bho aon phuing gu puing eile air cearcall a thèid tron mheadhan-phuing. Tha an trast-thomhas dà uair fad an radius.
4. Cearcall-thomhas (C): Fad na loidhne a tha timcheall air a’ chearcall, air a thomhas a’ cleachdadh na foirmle (C = 2 π/r).
A’ Tuigsinn Fad Arc
Is e fad bogha fad pàirt shònraichte de chuairt-thomhas cearcaill. Smaoinicheamaid air cearcall mòr air a ghearradh le dà loidhne rèididheach. Tha na loidhnichean rèididheach seo a’ roinn a’ chearcaill ann an dà bhogha, ris an can sinn na boghachan mòra is beaga, a rèir an fhaid fa leth.
Gus fad bogha obrachadh a-mach, feumaidh fios a bhith againn air radius a’ chearcaill agus meud a’ cheàirn mheadhanaich a chruthaicheas an dà loidhne rèididheach. Faodar fad bogha obrachadh a-mach leis an fhoirmle:
[L = θελον uair r]
Càite:
– \(L \) 's e fad a' bhogha,
– ’S e \( \theta \) an ceàrn meadhanach ann an radianan,
– Is e \(r \) radius a’ chearcaill.
Ma tha an ceàrn meadhanach ann an ceumannan, bidh am foirmle ag atharrachadh gu:
[L = (frac{\theta}{360}) × 2 π/r]
Mar eisimpleir, ma tha cearcall agad le radius de 10 aonadan agus ceàrn meadhanach de 60 ceum, faodar fad a’ bhogha obrachadh a-mach mar:
[L = (60/360) × 2 π × 10 = (1/6) × 20 π = (20 π/6) timcheall air 10.47, aonad]
Mìneachadh air Farsaingeachd Roinn
’S e farsaingeachd earrainn farsaingeachd pàirt shònraichte de chearcall air a chruthachadh le dà loidhne rèididheach agus an arc a tha gan ceangal. Gu tric bithear a’ dèanamh coimeas eadar earrainnean agus sliseagan de phì no pizza. Gus farsaingeachd earrainn obrachadh a-mach, feumaidh sinn radius a’ chearcaill agus a’ cheàrn mheadhanach air a chruthachadh leis an dà loidhne rèididheach.
Is e am foirmle airson farsaingeachd roinne obrachadh a-mach:
[A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]
Càite:
– \( A \) 's e farsaingeachd na roinne,
– ’S e \( \theta \) an ceàrn meadhanach ann an radianan,
– Is e \(r \) radius a’ chearcaill.
Ma tha an ceàrn meadhanach ann an ceumannan, thèid am foirmle atharrachadh gu:
[A = (frac{theta}{360}) uair π r²]
Mar eisimpleir, can gu bheil cearcall againn le radius de 10 aonadan agus ceàrn meadhanach de 60 ceum. An uairsin faodar farsaingeachd na roinne obrachadh a-mach mar:
[A = (60/360) × π × 10^2 = (1/6) × 100 π = (100 π}{6} timcheall air 52.36, aonad^2]
Dàimh eadar Fad a’ Bhog agus Farsaingeachd na Roinne
Tha bun-bheachdan fad a’ bhogha agus farsaingeachd na roinne dlùth-cheangailte oir tha an dà chuid an urra ri radius a’ chearcaill agus a’ cheàrn mheadhanach. Le bhith eòlach air aon den dà rud seo agus fiosrachadh a bharrachd leithid an radius no a’ cheàrn mheadhanach, is urrainn dhuinn am fear eile obrachadh a-mach.
Faodar an dàimh matamataigeach eadar fad bogha agus farsaingeachd earrainn a chur ri chèile mar a leanas. Tha fios againn mu thràth air a’ fhoirmle:
1. Fad a’ bhogha: [L = (frac{theta}{360) × 2 π/r]
2. Farsaingeachd an lìon: [A = (frac{theta}{360) × π r²]
Chì sinn bhon dà fhoirmle gu h-àrd gu bheil coltas ann anns a’ bhloigh cheàrnach \(\left( \frac{\theta}{360} \right)\) a tha a’ comharrachadh co-mheas a’ chearcaill gu lèir a chaidh a chruthachadh.
Ma tha sinn airson an dà rud a cheangal nas fhaide, thoir an aire gur e ceudad de chuairt-thomhas a’ chearcaill fad a’ bhogha (L) agus gur e ceudad de raon a’ chearcaill raon na roinne (A). Ann am faclan eile,
[L = (frac{\theta}{360}) × 2 π/r]
[A = (L/2 πr) uair πr²]
Bloighean a dhèanamh nas sìmplidhe,
[A = (L/2) uair r]
Mar sin is urrainn dhuinn a ràdh gu dìreach gum faodar farsaingeachd earrainn a cheangal ri fad a’ bhogha tro fhaid a’ bhogha agus an radius:
[A = \frac{1}{2} L r \]
Tagraidhean ann am Beatha Làitheil
Chan e dìreach rud acadaimigeach a th’ ann a bhith a’ tuigsinn a’ chàirdeis eadar fad a’ bhogha agus farsaingeachd na roinne, ach tha e cuideachd a’ cleachdadh gu practaigeach ann an diofar thaobhan de bheatha làitheil. Seo cuid de na cleachdaidhean sin:
1. Dealbhadh Ailtireil: Ann a bhith a’ dealbhadh thogalaichean no structaran cruinn, leithid cruinneagan, gàrraidhean, no togalaichean cruinn, tha e glè chudromach fad a’ bhogha agus farsaingeachd na roinne obrachadh a-mach.
2. Innleadaireachd Mheacanaigeach: Ann a bhith a’ dealbhadh phàirtean inneil anns a bheil gluasad cruinn no siolandair, cuidichidh an t-eòlas seo le bhith ag obrachadh a-mach na slighean agus na beàrnan a tha a dhìth.
3. Reul-eòlas: Ann a bhith a’ modaladh orbitan planaidean no saidealan nàdarra a tha eliptigeach no cruinn.
4. Àiteachas: A’ cuideachadh le bhith a’ dealbhadh uisgeachadh aig meadhan na pàirce gus dèanamh cinnteach gu bheil uisge air a sgaoileadh gu cothromach.
Co-dhùnadh
Le bhith a’ tuigsinn a’ cheangail eadar fad arc agus farsaingeachd roinne, is urrainn dhuinn tuigse nas fheàrr fhaighinn air mar a bhios ceàrnan, radii, agus co-phàirtean eile de chearcall ag eadar-obrachadh le chèile. Le bhith a’ cleachdadh nam foirmlean bunaiteach seo, is urrainn dhuinn dèiligeadh ri diofar dhùbhlain ann am matamataig geoimeatrach a bharrachd air tagraidhean practaigeach ann an grunn raointean, a’ gabhail a-steach ailtireachd, innleadaireachd, àiteachas, agus reul-eòlas. Ged a tha coltas sìmplidh orra, tha tagraidhean farsaing aig an dà bhun-bheachd seo air feadh beatha làitheil, gan dèanamh bunaiteach airson ionnsachadh agus maighstireachd.
