Sgaoileadh Binomial: Teòiridh, Tagraidhean, agus Eisimpleirean
Pendahuuan
’S e bun-bheachd bunaiteach ann an staitistig agus teòiridh coltachd a th’ anns an sgaoileadh binomial. Mar aon de na sgaoilidhean sgarach as trice a thathas a’ cleachdadh, tha iomadh cleachdadh aig an sgaoileadh binomial ann an raointean leithid leigheas, eaconamas, bith-eòlas agus na saidheansan sòisealta. Bruidhnidh an t-artaigil seo air an sgaoileadh binomial gu mionaideach, a’ gabhail a-steach a mhìneachadh, prìomh fheartan, foirmlean co-cheangailte, agus grunn eisimpleirean practaigeach de thagraidhean.
A’ Tuigsinn Sgaoileadh Binomial
Tha an sgaoileadh binomial a’ toirt cunntas air toradh n deuchainnean Bernoulli, far nach eil ach dà thoradh a dh’ fhaodadh a bhith aig gach deuchainn: “soirbheachas” no “fàilligeadh.” Mar eisimpleir, ann an tilgeil bonn, is e na toraidhean a dh’ fhaodadh a bhith ann “cinn” no “cinn”.
Is iad seo an dà phrìomh pharaimeatair anns an sgaoileadh binomial:
1. n (àireamh dheuchainnean)
2. p (coltachd soirbheachais anns gach deuchainn)
Nas foirmeile, faodar an àireamh de shoirbheasan ann an n deuchainnean a mhìneachadh leis an t-sgaoileadh binomial \( B(n, p) \).
Gnìomh Tomad Cothromachd (PMF)
Tha gnìomh mais coltachd an t-sgaoilidh binomial air a fhoirmleachadh mar:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1 – p)^{n – k}]
Càite:
– ’S e measgachadh de n k taghte a th’ ann an \( \binom{n}{k} \),
– ’S e \(p \) coltachd soirbheachais ann an aon deuchainn,
– ’S e \(k \) an àireamh de shoirbheasan,
– ’S e \(n \) an àireamh iomlan de dheuchainnean.
Prìomh fheartan an t-sgaoilidh dhinn-nòmach
Tha grunn fheartan cudromach aig an sgaoileadh binomial:
1. Meadhan (Cuibheasach): Air fhaighinn bho bhith ag iomadachadh àireamh nan deuchainnean leis a’ choltachd soirbheachais anns gach deuchainn. Is e am meadhan ε( μ = np).
2. Caochlaideachd: Is e caochlaideachd an t-sgaoilidh dà-thaobhach toradh àireamh nan deuchainnean, coltachd soirbheachais, agus coltachd fàilligeadh, is e sin, \( \sigma^2 = np(1 – p) \).
3. Co-chothromachd agus Claonadh: Nuair a tha \(p = 0.5 \), tha an sgaoileadh dà-thomach co-chothromach. Airson \(p < 0.5 \), tha an sgaoileadh claon chun na làimh dheis, agus airson \(p > 0.5 \), tha an sgaoileadh claon chun na làimh chlì.
4. Crìochan Luach: Tha an luach dà-thomach (k) a’ dol bho 0 gu n.
Sgaoileadh Binomial agus Teoirim na Crìche Meadhanach
Tha pàirt chudromach aig an sgaoileadh dà-thaobhach ann an Teoirim na Crìochan Meadhanach. Nuair a dh’fhàsas an àireamh dheuchainnean (n) glè mhòr, bidh an sgaoileadh dà-thaobhach a’ tighinn faisg air sgaoileadh àbhaisteach le meadhan \( \mu = np \) agus claonadh àbhaisteach \( \sigma = \sqrt{np(1 – p)} \).
Eisimpleir Cùise a’ cleachdadh Sgaoileadh Binomial
Bidh e nas fhasa còmhraidhean mun sgaoileadh dà-thaobhach a thuigsinn tro eisimpleirean practaigeach bho dhiofar raointean. Seo cuid de thagraidhean san t-saoghal fhìor:
Eisimpleir 1: Deuchainn Bathar
Abair gu bheil loidhne-riochdachaidh aig companaidh eileagtronaigeach far a bheil coltachd toradh lochtach 0.01. Ma nì a’ chompanaidh sgrùdadh air 100 toradh, dè an coltachd a th’ ann dìreach 2 thoradh lochtach a lorg?
A’ cleachdadh foirmle an t-sgaoilidh dà-thaobhach:
[P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.01)^2 (0.99)^{98} \]
Le bhith a’ tomhas nan cothlamadh \(\binom{100}{2}\), agus an uair sin gan iomadachadh leis na cothroman a tha air fhàgail, gheibh sinn an toradh deireannach.
Eisimpleir 2: Rannsachadh Meidigeach
Ann an deuchainn clionaigeach air droga airson galair sònraichte, tha coltachd 0.8 ann gun tèid euslainteach a leigheas leis an druga. Ma thèid 10 euslaintich a dhearbhadh, dè an coltachd a th’ ann gun tèid co-dhiù 8 euslaintich a leigheas?
Gus an coltachd seo a lorg, feumaidh sinn na coltachdan gum bi 8, 9, agus 10 euslaintich a’ faighinn seachad air a chur ri chèile:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]
Le bhith a’ cleachdadh na foirmle dà-thaobhach airson gach luach de k (8, 9, agus 10), agus an uairsin a’ cur nan toraidhean ri chèile.
Eisimpleir 3: Co-dhùnaidhean ann an Eaconamas
Ann an sgrùdadh margaidh, chòrd toradh ùr ri 60% de luchd-cleachdaidh. Ma thèid sampall air thuaiream de 20 neach-cleachdaidh a ghabhail, dè an coltachd a th’ ann gun do chòrd an toradh ri co-dhiù 15 dhiubh?
Feumaidh sinn an sgaoileadh binomial gus coltachd àireamh de “likes” obrachadh a-mach bho 15 gu 20:
\[ P(X \geq 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) \]
A' cleachdadh an aon dhòigh, bidh sinn a' tomhas agus a' cur ri chèile na coltachdan sin.
A’ cleachdadh teicneòlais ann an àireamhachadh sgaoilidh binomial
Anns an linn dhidseatach, chan e a-mhàin gu bheil tagraidhean àireamhachaidh sgaoilidh binomial air an dèanamh le làimh ach cuideachd le bhith a’ cleachdadh bathar-bog leithid R, Python, no àireamhairean staitistigeil sònraichte.
Seo eisimpleir de bhith a’ cleachdadh Python gus an sgaoileadh binomial obrachadh a-mach:
“` python
bho scipy.stats in-mhalairt binom
n = 10 àireamh dheuchainnean
p = 0.8 coltachd soirbheachais
k = 8 an àireamh de shoirbheasan ris a bheil dùil
coltachd dìreach 8 soirbheasan
prob_8 = binom.pmf(k, n, p)
cothrom air co-dhiù 8 soirbheasan
prob_ge_8 = 1 – binom.cdf(k-1, n, p)
clò-bhuail(f”Cothrom air dìreach 8 soirbheasan: {prob_8}”)
clò-bhuail(f”Cothrom co-dhiù 8 soirbheasan: {prob_ge_8}”)
“`
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd riatanach ann an staitistig agus coltachd a th’ anns an sgaoileadh binomial. Le bhith a’ tuigsinn an t-sgaoilidh binomial, is urrainn dhuinn diofar mhodalan coltachd a chur an sàs ann an suidheachaidhean fìor anns a bheil deuchainnean a-rithist is a-rithist le dà thoradh. Tha an comas innealan teicneòlais a chleachdadh a’ dèanamh a’ phròiseas àireamhachaidh nas èifeachdaiche agus nas cruinne. Chan e a-mhàin gu bheil an sgaoileadh binomial cudromach gu teòiridheach ach tha grunn thagraidhean practaigeach buntainneach aige cuideachd ann an diofar raointean saidheans agus gnìomhachais.
Tha mi an dòchas gun toir an t-artaigil seo tuigse nas doimhne air an sgaoileadh binomial agus gun brosnaich e tuilleadh rannsachaidh ann an raointean staitistig agus coltachd.
