Eisimpleir de Cheist Deasbaid air an Aonad Vector de Vector
Pendahuuan
Ann am matamataig agus fiosaig, ’s e eileamaidean bunaiteach a th’ ann am vectaran a tha a’ riochdachadh meud agus stiùireadh. Bithear tric a’ cleachdadh vectaran gus diofar nithean a mhìneachadh leithid astar, feachd, agus gluasad ann an àite dà- no trì-thaobhach. Is e aon bhun-bheachd chudromach co-cheangailte ri vectaran am vectar aonad. Bruidhnidh an t-artaigil seo air mìneachadh vectar aonad, mar a nì thu obrachadh a-mach e, agus bheir e seachad grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus fuasglaidhean.
A’ Tuigsinn Vectaran Aonaid
Is e vectar aonad vectar le meud aon aonad agus an aon stiùireadh ris a’ vectar thùsail. Bithear tric a’ cleachdadh vectaran aonad gus mion-sgrùdadh a dhèanamh nas sìmplidhe leis gu bheil am meud an-còmhnaidh mar aon, a’ leigeil leis a’ phrìomh fhòcas a bhith air an stiùireadh. Gus vectar a thionndadh gu vectar aonad, feumaidh sinn gach aon de na pàirtean aige a roinn le meud a’ vectar.
Gu matamataigeach, ma tha \( \mathbf{v} \) na vectar, faodar a vectar aonad \( \mathbf{\hat{v}} \) a chur an cèill mar:
\[
\mathbf{\hat{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
\]
far a bheil \( \|\mathbf{v}\| \) na mheudachd no fad a’ vectar \( \mathbf{v} \).
A’ tomhas meud vectar
Faodar meud vectar \( \mathbf{v} \) ann an àite dà-thaobhach le co-phàirtean \( (v_x, v_y) \) obrachadh a-mach leis an fhoirmle:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
Aig an aon àm, airson vectaran ann an àite trì-thaobhach le co-phàirtean (v_x, v_y, v_z)), thèid am meud obrachadh a-mach leis an fhoirmle:
\[
\|\mathbf{v}\| = \ sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
\]
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Gus bun-bheachd vectaran aonaid a shoilleireachadh, leig dhuinn sùil a thoirt air beagan cheistean eisimpleireach agus na còmhraidhean mun deidhinn.
Eisimpleir Ceist 1
Ceist: Ma tha vectar \( \mathbf{a} = (3, 4) \) ann, obraich a-mach vectar aonad a’ vectair \( \mathbf{a} \).
Deasbad:
1. Obraich a-mach co-phàirtean a’ vectar \( \mathbf{a} \):
(a_x = 3), (a_y = 4)
2. Obraich a-mach meud a’ vectar \( \mathbf{a} \):
\[
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \ sqrt{25} = 5
\]
3. Obraich a-mach an vectar aonad le bhith a’ roinn gach pàirt den vectar \( \mathbf{a \) leis a mheudachd:
\[
\mathbf{\hat{a}} = \clì( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) = \clì( 0.6, 0.8 \right)
\]
Mar sin, is e (0.6, 0.8) vectar aonaid \( \mathbf{a \) \(
Eisimpleir Ceist 2
Ceist: Ma tha vectar b = (1, -2, 2) ann, obraich a-mach vectar aonad a’ vectair b).
Deasbad:
1. Obraich a-mach co-phàirtean a’ vectar \( \mathbf{b} \):
(b_x = 1), (b_y = -2), (b_z = 2)
2. Obraich a-mach meud a’ vectar \( \mathbf{b} \):
\[
\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \ sqrt{9} = 3
\]
3. Obraich a-mach an vectar aonad le bhith a’ roinn gach pàirt den vectar \( \mathbf{b} \) leis a mheudachd:
\[
b = (frac{1}{3}, -2}{3}, frac{2}{3}) timcheall air (0.333, -0.667, 0.667)
\]
Mar sin, is e (0.333, -0.667, 0.667)) vectar aonaid \( \mathbf{b \) \( \left( 0.333, -0.667 \right) \).
Eisimpleir Ceist 3
Ceist: Ma tha an vectar \( \mathbf{c} = (-7, 24) \) air a thoirt seachad, obraich a-mach vectar aonad a’ vectar \( \mathbf{c} \).
Deasbad:
1. Obraich a-mach co-phàirtean a’ vectar \( \mathbf{c} \):
(c_x = -7), (c_y = 24)
2. Obraich a-mach meud a’ vectar \( \mathbf{c} \):
\[
\|\mathbf{c}\| = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \ sqrt{49 + 576} = \ sqrt{625} = 25
\]
3. Obraich a-mach an vectar aonad le bhith a’ roinn gach pàirt den vectar \( \mathbf{c} \) leis a mheudachd:
\[
\mathbf{\hat{c}} = \clì( \frac{-7}{25}, \frac{24}{25} \right) = \clì( -0.28, 0.96 \right)
\]
Mar sin, is e (-0.28, 0.96) vectar aonaid \( \mathbf{c \) \(
Eisimpleir Ceist 4
Ceist: Ma tha vectar \( \mathbf{d} = (6, 8, 0) \), obraich a-mach vectar aonad a’ vectar \( \mathbf{d} \).
Deasbad:
1. Obraich a-mach co-phàirtean a’ vectar \( \mathbf{d} \):
(d_x = 6), (d_y = 8), (d_z = 0)
2. Obraich a-mach meud a’ vectar \( \mathbf{d} \):
\[
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64 + 0} = \ sqrt{100} = 10
\]
3. Obraich a-mach an vectar aonad le bhith a’ roinn gach pàirt den vectar \( \mathbf{d} \) leis a mheudachd:
\[
\mathbf{\hat{d}} = \left(\frac{6}{10}, \frac{8}{10}, \frac{0}{10} \right) = \left(0.6, 0.8, 0 \right)
\]
Mar sin, is e (0.6, 0.8, 0)) vectar aonaid \( \mathbf{d \) \(
Penutup
Tron deasbad agus na h-eisimpleirean gu h-àrd, is urrainn dhuinn tuigsinn gu bheil obrachadh a-mach vectar aonad ag iarraidh meud a’ vectar obrachadh a-mach agus an uairsin co-phàirtean a’ vectar a roinn leis a’ mheud sin. Tha vectaran aonad glè fheumail ann an diofar thagraidhean leithid gnàthachadh vectar ann an grafaigean coimpiutair, mion-sgrùdadh feachd ann am fiosaig, agus mòran raointean eile. Le bhith a’ tuigsinn a’ bhun-bheachd seo, bu chòir dhuinn a bhith comasach air dèiligeadh ri duilgheadasan a tha a’ toirt a-steach vectaran nas fhasa.
