Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Bheactaran Trì-thaobhach ann an Siostam Co-òrdanachaidh Cartesian
Tha vectaran trì-thaobhach nam bun-bheachd cudromach ann am matamataig agus fiosaig, air an cleachdadh gu tric gus nithean no iongantas a riochdachadh ann an àite trì-thaobhach. Anns an t-siostam co-òrdanachaidh Cartesian, tha na vectaran sin air an riochdachadh le trì pàirtean, mar as trice air an ainmeachadh mar \( (x, y, z) \). Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus fuasglaidhean co-cheangailte ri vectaran trì-thaobhach anns an t-siostam co-òrdanachaidh Cartesian.
A’ Tuigsinn Vectaran Trì-thaobhach
Faodar vectar ann an àite trì-thaobhach a chur an cèill mar \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), far a bheil:
– Is e \(A_x\) am pàirt den vectar air feadh an x-axis.
– ’S e \(A_y\) am pàirt vectar air feadh an axis-y.
– Is e \(A_z\) am pàirt vectar air feadh an ais-z.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Ceist 1: Obrachadh Suimeachaidh Vectar
Ma tha dà vectar againn, A = (2, -3, 4) agus B = (-1, 5, 2), obraich a-mach suim an dà vectar seo.
Deasbad:
Tha cur dà vectar A agus B air a dhèanamh le bhith a’ cur an co-phàirtean co-fhreagarrach ri chèile. Mar sin, tha againn:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Cuir na luachan vectar a tha air an toirt seachad an àite:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Mar sin, is e toradh cur nan vectaran A agus B C = (1, 2, 6)).
Ceist 2: Obrachadh Toirt air Falbh Vectar
Ma tha dà vectar againn, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) agus \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). Obraich a-mach an toirt air falbh bhon dà vectar seo, is iad sin \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\).
Deasbad:
Thèid dà vectar A agus B a thoirt air falbh le bhith a’ toirt air falbh na co-phàirtean co-fhreagarrach aca. Mar sin, tha againn:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
Cuir na luachan vectar a tha air an toirt seachad an àite:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Mar sin, is e toradh toirt air falbh nam vectaran A agus B D = (-1, 4, -8)).
Ceist 3: Obrachadh Iomadachaidh Sgalar
Ma tha vectar A = (3, -2, 7) agus sgalar k = 4 ann, obraich a-mach toradh sgalar nan vectaran seo.
Deasbad:
Thèid sgalar \(k\) a iomadachadh le vectar \(\mathbf{A}\) le bhith ag iomadachadh gach pàirt den vectar leis an sgalar sin. Mar sin, tha againn:
\[
\mathbf{E} = k \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
Cuir na luachan a tha air an toirt seachad an àite:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Mar sin, is e toradh iomadachadh an sgalair \(k\) leis a’ vectar \(\mathbf{A}\) \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\).
Ceist 4: Fad a’ Vectar
Obraich a-mach fad (meud) a’ vectar \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\).
Deasbad:
Faodar fad no meud vectar \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) obrachadh a-mach leis an fhoirmle:
\[
|\mathbf{A}| = \ sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Cuir na luachan a tha air an toirt seachad an àite:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Mar sin, tha fad a’ vectar \(\mathbf{A}\) co-ionann ri 3.
Ceist 5: Toradh Dot
Ma tha dà vectar againn, A = (1, 0, -1) agus B = (2, 3, 4), obraich a-mach toradh dot an dà vectar seo.
Deasbad:
Tha toradh dotaichte dà vectar \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) agus \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) air a dhèanamh le bhith ag iomadachadh nan co-phàirtean co-fhreagarrach agus an uairsin gan cur ri chèile. Mar sin, tha againn:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Cuir na luachan a tha air an toirt seachad an àite:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Mar sin, is e -2 toradh dotaig nan vectaran A agus B.
Ceist 6: Tar-thoradh
Ma tha dà vectar againn, A = (1, 2, 3) agus B = (4, 5, 6), obraich a-mach toradh-tarsainn an dà vectar seo.
Deasbad:
Tha an toradh-crois de dhà vectar \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) agus \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) air a dhèanamh leis an fhoirmle a leanas:
\[
A × B = ((A_y B_z – A_z B_y), (A_z B_x – A_x B_z), (A_x B_y – A_y B_x))
\]
Cuir na luachan a tha air an toirt seachad an àite:
\[
Tha A × B = ((2⁶ – 3⁶), (3⁶ – 1⁶), (1⁶ – 2⁶)) = (12–15, 12–6, 5–8) = (-3, 6, -3)
\]
Mar sin, is e toradh-crois nam vectaran A agus B A × B = (-3, 6, -3)).
Co-dhùnadh
Tha vectaran trì-thaobhach ann an siostam co-òrdanachaidh Cartesian nan innealan riatanach ann an diofar raointean saidheans agus innleadaireachd. Tro na h-eisimpleirean agus na còmhraidhean gu h-àrd, tha sinn air faicinn mar a nì sinn diofar obrachaidhean bunaiteach air vectaran, leithid cur-ris, toirt air falbh, iomadachadh sgalar, agus toraidhean dotagan is croisean. Bidh tuigse làidir air na bun-bheachdan sin air leth luachmhor chan ann a-mhàin ann am matamataig ach cuideachd ann an tagraidhean practaigeach ann am fiosaig, innleadaireachd, agus saidheans coimpiutaireachd.
