Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbad: Caochlaideachd agus Claonadh Coitcheann de Dhàta Singilte
'S e meur de mhatamataig a th' ann an staitistig a tha a' dèiligeadh ri cruinneachadh, mion-sgrùdadh, mìneachadh, taisbeanadh agus eagrachadh dàta. Is e dà bhun-bheachd chudromach ann an staitistig an caochladh agus an claonadh àbhaisteach. Bruidhnidh an t-artaigil seo gu mionaideach air mar a nì thu obrachadh a-mach an caochladh agus an claonadh àbhaisteach ann an aon sheata dàta tro ghrunn eisimpleirean de dhuilgheadasan.
A’ Tuigsinn Caochlaideachd agus Claonadh Coitcheann
Is e caochlaideachd tomhas a bhios a’ tomhas dè cho fada ‘s a tha na h-àireamhan ann an seata dàta air an sgaoileadh bhon mheadhan no bhon chuibheasachd. Tha caochlaideachd air a chur an cèill ann an aonadan ceàrnagach den dàta thùsail, agus mar sin tha e tric duilich a mhìneachadh.
’S e freumh ceàrnagach an atharrachaidh an claonadh àbhaisteach. Tha e a’ toirt seachad tomhas nas fhasa a thuigsinn dè cho fada ’s a tha an dàta a’ dol bhon mheadhan sa chumantas leis gu bheil na h-aonadan aige mar an ceudna ris na h-aonadan tùsail den dàta.
Foirmle Choitcheann
Airson dàta singilte, is e seo am foirmle airson caochlaideachd \( \sigma^2 \) agus claonadh àbhaisteach \( \sigma \) an t-sluaigh:
1. Caochlaideachd (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Claonadh Coitcheann (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
Càite:
– \(N \) an àireamh dàta anns an t-sluagh.
– Is e \(x_i \) an i-de luach dàta.
– ’S e \( \mu \) meadhan no cuibheasachd an dàta.
Ma nì sinn obrachadh a-mach an caochlaideachd agus an claonadh àbhaisteach den t-sampall, tha am foirmle gu h-àrd air atharrachadh beagan:
1. Caochlaideachd Sampall (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)
2. Claonadh Coitcheann Sampall (ean):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Càite:
– ’S e \(n \) an àireamh dàta san sampall.
– ’S e \( \bar{x} \) meadhan no cuibheasachd an t-sampall.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1:
Air sgàth an dàta a leanas:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Obraich a-mach an caochlaideachd agus an claonadh àbhaisteach den dàta!
Ceumannan Fuasglaidh:
1. A’ tomhas a’ chuibheasaich (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Obraich a-mach an diofar eadar dàta agus a’ chuibheasachd, an uairsin ceàrnagaich:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. A’ cur nan toraidhean ceàrnagach uile ri chèile:
\[
\ suim (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. A’ tomhas caochlaideachd (σ²) dàta sluaigh:
\[
∫sigma^2 = ∫frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nota: Leis gu bheil an dàta seo air a ràdh mar dhàta sluaigh, bidh sinn a’ roinn le 6.
5. A’ tomhas an Claonadh Coitcheann (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Mar sin, is e 3.559 an caochlaideachd anns an dàta agus is e 1.886 an claonadh àbhaisteach.
Eisimpleir Ceist 2:
A’ toirt seachad an dàta eisimpleir a leanas:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Obraich a-mach an caochlaideachd agus an claonadh àbhaisteach den sampall!
Ceumannan Fuasglaidh:
1. A’ tomhas a’ chuibheasaich (Mean) \( \bar{x} \):
\[
∫[x] = 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11] = 49 = 6.167
\]
2. Obraich a-mach an diofar eadar dàta agus a’ chuibheasachd, an uairsin ceàrnagaich:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. A’ cur nan toraidhean ceàrnagach uile ri chèile:
\[
Tha \sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. A’ tomhas an eadar-dhealachaidh sampall (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nota: Leis gur e dàta sampall a tha seo, bidh sinn a’ roinn le 5 (n-1).
5. A’ tomhas an Claonadh Coitcheann (ean):
\[
s = 5.351 timcheall air 2.313
\]
Mar sin, is e 5.351 an caochlaideachd anns an dàta sampall agus is e 2.313 an claonadh àbhaisteach.
Co-dhùnadh
Tha e deatamach obrachadh a-mach caochlaideachd agus claonadh àbhaisteach airson tuigse fhaighinn air mar a tha dàta sgapte taobh a-staigh seata sònraichte. Ged a bheir caochlaideachd tomhas teòiridheach de sgaoileadh ann an ceàrnagan de na h-aonadan tùsail, bidh claonadh àbhaisteach a’ mìneachadh tomhas an sgapaidh a thaobh nan aonadan tùsail den dàta, ga dhèanamh nas fhasa a thuigsinn. Ann an mion-sgrùdadh dàta, bidh an dà thomhas seo gu tric air an cleachdadh gus caochlaideachd dàta a mheasadh agus co-dhùnaidhean staitistigeil a dhèanamh.
Le bhith a’ tuigsinn nan ceumannan agus nam foirmlean riatanach, is urrainn dhuinn gu furasta an caochlaideachd agus an claonadh àbhaisteach obrachadh a-mach airson diofar shuidheachaidhean a choinnicheas sinn ann an cruinneachadh is mion-sgrùdadh dàta làitheil. Tha sinn an dòchas gun toir an t-artaigil seo tuigse nas doimhne air bun-bheachdan caochlaideachd agus claonadh àbhaisteach ann an seataichean dàta singilte.
