Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Cruth-atharrachadh anns a’ Phlèana Cartesian
Tha cruth-atharrachaidhean anns a’ phlèana Cartesian nan cuspair cudromach ann am matamataig, gu h-àraidh geoimeatraidh. Tha na cruth-atharrachaidhean seo a’ toirt a-steach diofar obrachaidhean leithid eadar-theangachadh, meòrachadh, rothladh, agus leudachadh, a tha ag amas air cumadh nì a ghluasad no atharrachadh ann am plèana dà-thaobhach. Nì an t-artaigil seo ath-sgrùdadh air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh e orra co-cheangailte ri cruth-atharrachaidhean anns a’ phlèana Cartesian.
Seòrsachan Cruth-atharrachaidh
Mus tèid sinn a-steach don duilgheadas eisimpleir, leig dhuinn sùil a thoirt an toiseach air na seòrsaichean cruth-atharrachaidhean a leanas:
1. Eadar-theangachadh (Gluasad)
Is e gluasad puing no nì ann am plèana le astar sònraichte ann an stiùireadh sònraichte a th’ ann an eadar-theangachadh. Faodar eadar-theangachadh a mhìneachadh mar:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
far a bheil \(a\) agus \(b\) nan astaran gluasaid còmhnard is dhìreach.
2. Meòrachadh
Is e meòrachadh meòrachadh puing no nì thar ais, ge b’ e an ais-x, an ais-y, no loidhne eile a th’ ann. Mar eisimpleir, meòrachadh thar an ais-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Cuairteachadh (Snìomh)
Is e rothladh rothladh puing no nì timcheall air puing meadhanach le ceàrn sònraichte. Faodar rothladh tuathal le ceàrn _(\theta\) a chur an cèill mar:
\[
(x, y) \rightarrow (x \ cos \ theta - y \ sin \ theta, x \ sin \ theta + y \ cos \theta)
\]
4. Leudachadh (Sgèileadh)
Is e leudachadh an t-atharrachadh ann am meud nì le factar sgèile sònraichte. Ma tha am factar sgèile _(k)_, faodar leudachadh a chur an cèill mar:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Ceist 1: Eadar-theangachadh
Ceist:
Dèan eadar-theangachadh aig puing \(A(2, 3)\) le gluasad de 5 aonadan chun na làimh dheis agus 4 aonadan suas.
Deasbad:
Tha gluasad 5 aonadan chun na làimh dheis a’ ciallachadh àrdachadh co-chomharran-x le 5. Tha an aithris “4 aonadan suas” a’ ciallachadh àrdachadh co-chomharran-y le 4. Is e toradh an eadar-ghluasaid:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Mar sin bidh am puing \(A(2, 3)\) às dèidh eadar-theangachadh a’ fàs:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Mar sin, is e A'(7, 7) am puing \(A(2, 3)\) às dèidh eadar-theangachaidh.
Ceist 2: Meòrachadh
Ceist:
Meòraich am puing \(B(-4, 7)\) timcheall air an ais-y.
Deasbad:
Bidh meòrachadh timcheall air an ais-y ag atharrachadh co-òrdanachadh an x gu àicheil a’ cho-òrdanachaidh x thùsail, agus bidh co-òrdanachadh an y a’ fuireach mar a tha e.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Mar sin bidh am puing \(B(-4, 7)\) às dèidh meòrachadh a’ fàs:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Mar sin, is e am puing \(B(-4, 7)\) an dèidh meòrachadh mun ais-y \(B'(4, 7)\).
Ceist 3: Cuairteachadh
Ceist:
Cuairtich am puing \(C(1, 2)\) le \(90^\circ\) tuathal leis a’ mheadhan aig an tùs \((0, 0)\).
Deasbad:
Faodar rothlachd de 90° tuathal a chur an cèill mar:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Mar sin bidh am puing \(C(1, 2)\) às dèidh rothlachaidh a’ fàs:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Mar sin, is e C'(-2, 1) a’ phuing \(C(1, 2)\) an dèidh rothlach de \(90°\circ\) tuathal.
Ceist 4: Leudachadh
Ceist:
Leudaich am puing \(D(3, 4)\) le factar sgèile \(k = 2\).
Deasbad:
Tha leudachadh le factar sgèile de ∫(2) a’ ciallachadh iomadachadh an dà cho-chomharran le ∫(2).
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Mar sin bidh am puing \(D(3, 4)\) às dèidh leudachadh a’ fàs mar seo:
\[
(x, y) \rightarrow (2 x 3, 2 x 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Mar sin, is e D'(6, 8) am puing \(D(3, 4)\) an dèidh leudachadh le factar sgèile \(2\).
Ceist 5: Measgachadh de Chruth-atharrachaidhean
Ceist:
Meòraich mun x-axis agus an uair sin leudaich le factar sgèile _(k = 0.5_) aig a’ phuing _(E(8, -6)_).
Deasbad:
Is e a’ chiad cheum meòrachadh mun x-axis:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \arrow righteous (8, 6)
\]
Is e an dàrna ceum leudachadh a dhèanamh le factar sgèile de \(0.5\):
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Mar sin, is e am puing \(E(8, -6)\) an dèidh meòrachadh mun x-axis agus leudachadh leis an fhactar sgèile \(0.5\) \(E'(4, 3)\).
Ceist 6: Cruth-atharrachadh le Cuairteachadh agus Eadar-theangachadh
Ceist:
Cuairtich am puing \(F(-3, 4)\) le \(180^\circ\) tuathal, agus an uair sin gluais an toradh leis a’ vectar \((2, -1)\).
Deasbad:
Is e a’ chiad cheum rothladh 180° tuathal:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \arrow righteous (3, -4)
\]
Is e an dàrna ceum eadar-theangachadh a dhèanamh leis a’ vectar \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \arrow righteous (3+2, -4-1) \arrow righteous (5, -5)
\]
Mar sin, is e F'(5, -5) am puing \(F(-3, 4)\) an dèidh rothlachadh \(180^\circ\) agus eadar-theangachadh leis a' vectar \((2, -1)\).
Co-dhùnadh
Tha cruth-atharrachaidhean anns a’ phlèana Cartesian nam bun-bheachd cudromach ann an geoimeatraidh, a’ gabhail a-steach diofar obrachaidhean leithid eadar-theangachadh, meòrachadh, rothladh, agus leudachadh. Le bhith a’ tuigsinn mar a tha gach seòrsa cruth-atharrachaidh ag obair, is urrainn dhuinn gu furasta suidheachadh no cumadh nì anns a’ phlèana atharrachadh. Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, chì sinn na cleachdaidhean practaigeach a th’ aig diofar chruth-atharrachaidhean agus mar as urrainnear an cur còmhla gus cruth-atharrachaidhean nas iom-fhillte a choileanadh. Tha sinn an dòchas gun robh an artaigil seo cuideachail ann a bhith a’ tuigsinn cruth-atharrachaidhean anns a’ phlèana Cartesian.
