Eisimpleir de Cheistean Deasbaid airson Àrd-ùrlar a’ Bhaile-mhòir
Ann an co-theacsa atharrais Monte Carlo, tha ìre Metropolis na algairim deatamach ann am meacanaig staitistigeil agus raointean eile. Anns an earrann seo, bruidhnidh sinn gu sònraichte air modh Metropolis-Hastings, algairim a thathas a’ cleachdadh gus samplachadh bho chuairtean coltachd iom-fhillte. Le bhith a’ tuigsinn nan ceumannan san algairim seo, is urrainn dhuinn atharrais nas cruinne agus nas èifeachdaiche a dhèanamh.
Ro-ràdh don Algairim Metropolis
Chaidh an algairim Metropolis a thoirt a-steach le Nicholas Metropolis agus a cho-obraichean ann an 1953. Tha an dòigh seo air a chleachdadh gus modaladh agus atharrais a dhèanamh air staid shiostaman fiosaigeach, gu h-àraidh an fheadhainn anns a bheil mòran ghràineanan leithid gasaichean no lionntan. Tha an dreach ùr-nodha den algairim seo, Metropolis-Hastings, na choitcheannachadh a leigeas le sampallan a bhith air an tarraing bho chuairteachadh targaid neo-àbhaisteach.
Ceumannan ann an Algairim a' Mhòr-bhaile
Gus tuigse fhaighinn air mar a tha algairim Metropolis ag obair, tha e cudromach eòlas fhaighinn air na ceumannan:
1. Tòiseachadh: Tòisich le bhith a’ taghadh fuasgladh tùsail air thuaiream bhon àite fuasglaidh no bhon sgaoileadh tùsail. Mar eisimpleir, bidh sinn a’ tòiseachadh le suidheachadh teòthachd no suidheachadh mìrean.
2. A’ Moladh Ceum Ùr: Molaibh staid ùr (fuasgladh ùr) le bhith a’ dèanamh atharrachadh beag air an staid làithreach. Canar ceum a’ “mholaidh” ris an seo gu tric. Mar as trice, bidh an t-atharrachadh seo air a tharraing bho chuairteachadh co-chothromach, leithid cuairteachadh Gaussian.
3. A’ tomhas a’ cho-mheas gabhail ris: Obraich a-mach a’ cho-mheas gabhail ris, a tha a’ dearbhadh a bheil sinn a’ gabhail ri no a’ diùltadh gluasad a thathar a’ moladh. ’S e an co-mheas seo co-mheas coltachd na staide ùire ris an staid làithreach. Ann an comharradh matamataigeach, tha an co-mheas seo air a thoirt seachad le:
\[
A = \min\left(1, \frac{P(\text{ùr})}{P(\text{gnàthach})}\deas)
\]
far a bheil \(P \) na coltachd air staid shònraichte.
4. Co-dhùnadh a’ cleachdadh Co-mheas Gabhail: Dèan coimeas eadar a’ cho-mheas gabhail agus luach air thuaiream a chaidh a tharraing bho chuairteachadh èideadh eadar 0 agus 1. Ma tha a’ cho-mheas gabhail nas motha na an luach air thuaiream, gabh ris a’ ghluasad ùr; air neo, diùlt e agus fuirich san staid làithreach.
5. Ath-aithris: Dèan ceumannan 2 gu 4 a-rithist airson an àireamh de ath-aithrisean a tha thu ag iarraidh no gus an ruig an siostam cothromachadh.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Bruidhnidh sinn air beagan cheistean eisimpleireach gus tuigse nas fheàrr fhaighinn air ìre a’ Mhòr-bhaile.
Eisimpleir Ceist 1
Ceist: Tha gràin agad ann an aon tomhas de shuidheachadh \(x \) a tha fo bhuaidh gnìomh lùth comasach \(U(x) = x^2 \). Cleachd algairim Metropolis gus sgaoileadh suidheachadh gràinean a shamhlachadh.
Deasbad:
1. Tòiseachadh: Tòisich bhon t-suidheachadh \(x = 0 \).
2. Molaibh Gluasad Ùr: Molaibh suidheachadh ùr (x' = x + Δx), le (Δx) air a tharraing bho chuairteachadh Gaussian le meadhan neoni.
3. Àireamhachadh Co-mheas Lùtha: Obraich a-mach an co-mheas lùtha:
\[
ΔU = U(x') – U(x) = x'^2 – x^2
\]
Mar sin, is e an co-mheas gabhail ris:
\[
A = ∫min\clì(1, e^{-Delta U}\deas)
\]
4. Co-dhùnadh: Ma tha \(A \) nas motha na àireamh air thuaiream eadar 0 agus 1, gabh ri \(x' \); air neo, fuirich aig suidheachadh \(x \).
5. Ath-aithris: Dèan am pròiseas seo a-rithist ann an, can, 10,000 ceum.
Leanaidh an sgaoileadh suidheachaidh a thig às seo sgaoileadh Gaussian le meadhan neoni agus caochlaideachd co-rèireach neo-dhìreach ris a’ chomas, a tha sa chùis seo, a’ leantainn gu sgaoileadh air a chumadh leis a’ ghnìomh lùtha comasach.
Eisimpleir Ceist 2
Ceist: Cleachd an algairim Metropolis gus an co-dhùnadh gnìomh Bayesian a chur an sàs. Abair gu bheil sinn airson leathad sìmplidh a chur ann an seata dàta a’ cleachdadh ath-tharraing loidhneach le MCMC.
Deasbad:
1. Tòiseachadh: Suidhich paramadairean tùsail a’ mhodail β = (m, c).
2. A’ Moladh Ceum Ùr: Molaibh paramadairean ùra den sgaoileadh àbhaisteach ioma-atharrachail. Mar eisimpleir, cleachdaibh sgaoileadh Gaussian airson nan caochladairean \(m \) agus \(c \).
3. Co-mheas Gabhail: Obraich a-mach an co-mheas gabhail le:
\[
A = \min\left(1, \frac{L(m', c'| \text{dàta})P(m', c')}{L(m, c| \text{dàta})P(m, c)}\deas)
\]
Far a bheil \(L \) na coltachd, agus \(P \) na ro-shealladh den pharaimeadar.
4. Co-dhùnadh: Dèan coimeas eadar an co-mheas agus luach air thuaiream de 0 gu 1 gus gabhail ris a’ mholadh no a dhiùltadh.
5. Ath-aithris: Ruith an atharrais le gu leòr ath-aithrisean gus an tèid co-chruinneachadh a choileanadh.
Leis an dòigh-obrach seo, is urrainn dhuinn sgaoilidhean posterior fhaighinn airson nam paramadairean ath-tharraing, a’ toirt dhuinn dòigh air dàimhean anns an dàta a cho-dhùnadh agus a mhìneachadh.
Co-dhùnadh
Leigidh ìre Metropolis ann an atharrais Monte Carlo leinn samplachadh bho chuairtean targaid iom-fhillte agus tha e na bhunait airson modh Metropolis-Hastings. Le bhith a’ cur an dòigh seo an sàs ann an diofar raointean, is urrainn dhuinn modaladh nas cruinne agus tuigse nas mionaidiche fhaighinn air an t-siostam. Ann an tagraidhean a’ dol bho fiosaig agus bith-eòlas gu saidheans coimpiutaireachd agus staitistig, tha an algairim seo a’ tabhann fuasglaidhean eireachdail is èifeachdach do dhuilgheadasan iom-fhillte.
