Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Fàs Eas-chruthach
Tha fàs eas-chruthach na bhun-bheachd chudromach ann am mòran raointean, nam measg eaconamas, bith-eòlas, gnìomhachas agus fiosaig. Ann am beatha làitheil, bidh sinn tric a’ tighinn tarsainn air suidheachaidhean anns a bheil fàs eas-chruthach, leithid fàs sluaigh daonna, lughdachadh luachan ainmichte mar thoradh air atmhorachd, sgaoileadh bhìorasan, agus mòran eile. Bruidhnidh an artaigil seo air diofar eisimpleirean de dhuilgheadasan agus fuasglaidhean co-cheangailte ri fàs eas-chruthach, a’ cuideachadh leughadairean tuigse nas fheàrr fhaighinn air a’ bhun-bheachd seo.
Bun-bheachdan Fàs Eas-chruthach
Tha fàs eas-chruthach air a mhìneachadh mar fhàs a tha a’ tachairt aig ìre sheasmhach gach aonad ùine. Gu matamataigeach, faodar fàs eas-chruthach a mhìneachadh leis a’ cho-aontar:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
Càite:
– ’S e \(N(t) \) an t-suim aig àm \(t \)
– ’S e \(N_0 \) an àireamh tùsail
– ’S e \(k \) an ìre fàis
– \(t \) 's e an t-àm a th' ann
– ’S e àireamh Euler a th’ ann an \(e \) (mu 2.718)
Ma tha luach \(k \) deimhinneach, tha fàs eas-chruthach againn. Air an làimh eile, ma tha \(k \) àicheil, tha crìonadh eas-chruthach againn.
Eisimpleir Ceist 1: Fàs Àireamh-shluaigh
Ceist
Tha àireamh-shluaigh tùsail de 100,000 neach ann am baile-mòr. Ma dh’fhàsas àireamh-shluaigh a’ bhaile aig ìre eas-chruthach de 2% gach bliadhna, dè a bhios ann an àireamh-shluaigh a’ bhaile an dèidh 10 bliadhna?
Penyelesaianach
An toiseach, feumaidh sinn na luachan aithnichte a chomharrachadh:
– \(N_0 \) = 100,000
– \(k \) = 2% gach bliadhna = 0.02
– \(t \) = 10 bliadhna
Cleachdaidh sinn foirmle an fhàs eas-chruthach:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
Cuir na luachan aithnichte a-steach don fhoirmle:
[N(10) = 100,000 ⋅ e^{0.02 ⋅ 10}]
[N(10) = 100,000 ⋅ e^{0.2}]
Tha luach tuairmseach \( e^{0.2} \) timcheall air 1.2214.
[N(10) = 100,000 ≥ 1.2214]
[N(10) = 122,140]
Mar sin, tha àireamh-shluaigh a’ bhaile an dèidh 10 bliadhna mu 122,140 neach.
-
Eisimpleir Ceist 2: Luach Tasgaidh
Ceist
Tha thu a’ cur $5,000 ann an cunntas a phàigheas riadh bliadhnail de 5%. Dè an luach a bhios air na sàbhalaidhean agad an dèidh 15 bliadhna?
Penyelesaianach
Comharraich luachan:
– \(N_0 \) = 5,000
– \(k \) = 5% gach bliadhna = 0.05
– \(t \) = 15 bliadhna
A’ cleachdadh foirmle an fhàs eas-chruthach:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
Cuir a-steach luachan aithnichte:
[N(15) = 5,000 ⋅ e^{0.05 ⋅ 15}]
[N(15) = 5,000 ⋅ e^{0.75}]
Tha an tuairmse \( e^{0.75} \) mu 2.117.
[N(15) = 5,000 ≥ 2.117]
[N(15) = 10,585]
Mar sin, tha luach do shàbhalaidhean às dèidh 15 bliadhna timcheall air $10,585.
-
Eisimpleir 3: Crìonadh Luach Càir
Ceist
Bidh luach càr ùr $30,000 a’ lùghdachadh gu luath aig ìre 12% gach bliadhna. Dè a bhios luach a’ chàir an dèidh 5 bliadhna?
Penyelesaianach
Comharraich luachan:
– \(N_0 \) = 30,000
– \(k \) = -12% gach bliadhna = -0.12
– \(t \) = 5 bliadhna
A’ cleachdadh foirmle an fhàs eas-chruthach:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
Cuir a-steach luachan aithnichte:
[N(5) = 30,000 − 0.12 − 5]
[N(5) = 30,000 −0.6]
Tha an tuairmse \( e^{-0.6} \) mu 0.5488.
[N(5) = 30,000 ≥ 0.5488]
[N(5) = 16,464]
Mar sin, tha luach a’ chàir an dèidh 5 bliadhna timcheall air $16,464.
-
Eisimpleir Ceist 4: Sgaoileadh bhìorasan
Ceist
Tha baile le sluagh tùsail de 200 neach air a ghlacadh le bhìoras aig ìre fàis eas-chruthach de 15% gach latha. Dè an àireamh iomlan de dhaoine air a bheil an galar às dèidh 7 latha?
Penyelesaianach
Comharraich luachan:
– \(N_0 \) = 200
– \(k \) = 15% gach latha = 0.15
– \(t \) = 7 làithean
A’ cleachdadh foirmle an fhàs eas-chruthach:
[N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}]
Cuir a-steach luachan aithnichte:
[N(7) = 200 ⋅ e^{0.15 ⋅ 7}]
[N(7) = 200 ⋅ e^{1.05}]
Tha an tuairmse \( e^{1.05} \) mu 2.857.
[N(7) = 200 ≥ 2.857]
[N(7) = 571.4]
Mar sin, tha an àireamh iomlan de dhaoine air an robh an galar às dèidh 7 latha timcheall air 571 neach.
-
Seo eisimpleirean de dhuilgheadasan agus de dheasbadan co-cheangailte ri fàs eas-chruthach. Faodaidh tuigse fhaighinn air mar a dh’fhuasglas tu duilgheadasan fàis eas-chruthach a bhith air leth feumail ann an diofar thagraidhean practaigeach san t-saoghal fhìor. Le cleachdadh gu leòr, faodar am bun-bheachd seo a mhaighstir gu furasta agus a chur an sàs mar a dh’fheumar.
