Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Cur-ris Vectar a rèir Co-phàirt
'S e modh-obrach bunaiteach ann am fiosaig agus matamataig a th' ann an cur-ris vectar a thathar a' cleachdadh gus toradh dà vectar no barrachd a lorg. Tha an dòigh-obrach co-phàirteach airson fuasgladh fhaighinn air cur-ris vectar na dhòigh gu sònraichte feumail, gu h-àraidh nuair a thathar a' dèiligeadh ri vectaran ann an dà no trì tomhasan. Mìnichidh an t-artaigil seo bun-bheachd cur-ris vectar co-phàirteach agus bheir e seachad grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus fuasglaidhean.
Bun-bheachd Cur-ris Vectar Co-phàirteach
Faodar gach vectar ann an àite dà-mheudach (2D) a bhriseadh sìos ann an dà phàirt: pàirt x (còmhnard) agus pàirt y (inghearach). Ann an trì tomhasan (3D), tha pàirt a bharrachd aig vectaran, am pàirt z (doimhneachd).
Abair gu bheil dà vectar againn, A agus B. Faodar co-phàirtean nan vectaran sin a chur an cèill mar a leanas:
– Tha co-phàirtean \(A_x\) agus \(A_y\) aig vectar A ann an 2D (no cuideachd \(A_z\) ann an 3D).
– Tha co-phàirtean \(B_x\) agus \(B_y\) aig vectar B ann an 2D (no cuideachd \(B_z\) ann an 3D).
Nuair a chuireas sinn an dà vectar seo ri chèile, gheibhear vectar R mar thoradh air, aig a bheil na co-phàirtean a leanas:
[R_x = A_x + B_x]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Airson vectaran ann an 3D, is e an co-phàirt z an leanas cuideachd:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Às dèidh dhuinn gach pàirt den vectar a thig às a thomhas, is urrainn dhuinn am modulas (meud) agus an stiùireadh den vectar a thig às a lorg a’ cleachdadh na foirmle:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (airson 2D)
No airson 3D:
[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Agus faodar stiùireadh a’ vectar a thig às a dhearbhadh leis a’ cheàrn ris na h-aisealan co-òrdanachaidh.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Ceist 1
Ma tha dà vectar ann am plèana dà-mheudach:
– Tha A \(5 \, \text{aonad}\) chun an ear.
– Tha B \(3 \, \text{aonad}\) gu tuath.
Obraich a-mach an vectar R a thig às.
Deasbad
An toiseach, bidh sinn ag atharrachadh an vectar gu na co-phàirtean fa leth aige.
– Vector A : \(A = (5, 0)\) oir chan eil aige ach co-phàirt x.
– Vector B : \(B = (0, 3)\) oir chan eil aige ach pàirt y.
Seo suim nan co-phàirtean:
[R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
An uairsin is e an vectar R a thig às a sin:
\[R = (5, 3) \]
Gus fad (modulus) a’ vectar R obrachadh a-mach:
[|R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \timcheall air 5.83 \]
Faodar stiùireadh a’ vectar R obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh a’ cheàirn θ ris an x-axis:
[\tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
[theta = arctan(frac{3}{5}) timcheall air 30.96]
Mar sin, tha fad mu 5.83 aonadan aig an vectar R a thig às a sin agus tha e a’ cruthachadh ceàrn 30.96° leis an x-axis.
Ceist 2
Air a thoirt seachad dà vectar ann an trì tomhasan:
– Is e A (3i + 2j + 1k)
– Is e B (1 i + 4 j + 2 k)
Obraich a-mach an vectar R a thig às.
Deasbad
An toiseach, bidh sinn a’ comharrachadh phàirtean gach vectar:
– Vector A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vector B: _(B_x = 1), _(B_y = 4), _(B_z = 2).
Seo suim nan co-phàirtean:
[R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
[R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3]
An uairsin is e an vectar R a thig às a sin:
\[R = (4, 6, 3) \]
Gus fad (modulus) a’ vectar R obrachadh a-mach:
[|R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]
Faodar stiùireadh a’ vectar R an coimeas ris na h-aisealan x, y, agus z obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh cosine an stiùiridh:
[cos(α) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
[α = arccos(0.512) timcheall air 59.50]
[cos(β) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \timcheall air 0.768 \]
[β = arccos(0.768) timcheall air 39.50]
[cos(γ) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
[γ = arccos(0.384) timcheall air 67.64]
Mar sin, tha fad mu 7.81 aonad aig a’ vectar R a thig às a sin agus tha na stiùiridhean aige an coimeas ris na h-aisealan x, y, agus z 59.50°, 39.50°, agus 67.64°.
Ceist 3
Air a thoirt seachad dà vectar:
– Tha meudachd 4 aonadan aig P agus tha e a’ cruthachadh ceàrn 45° ris an x-axis dheimhinneach.
– Tha meudachd 6 aonadan aig Q agus tha e a’ cruthachadh ceàrn 120° ris an x-axis dheimhinneach.
Obraich a-mach an vectar R a thig às.
Deasbad
An toiseach, bidh sinn a’ briseadh sìos an vectar na phàirtean x agus y aige:
– Vector P: (P_x = 4cos(45^circ) = 4 frac{sqrt{2}}{2} timcheall air 2.83), (P_y = 4sin(45^circ) = 4 frac{sqrt{2}}{2} timcheall air 2.83).
– Vector Q: (Q_x = 6cos(120) = 6(-frac{1}{2}) = -3), (Q_y = 6sin(120) = 6frac{sqrt{3}}{2} timcheall air 5.2).
Seo suim nan co-phàirtean:
[R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
An uairsin, is e an vectar R a thig às a sin:
[R = (-0.17, 8.03)]
Gus fad (modulus) a’ vectar R obrachadh a-mach:
[ |R| = √{(-0.17)^2 + 8.03^2} = √{0.0289 + 64.48} = √{64.509} timcheall air 8.03 \]
Stiùireadh a’ vectar R:
[tan(θ) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
[Theta = arctan(-47.24) timcheall air -88.99]
Ach, tha an ceàrn seo air a thomhas timcheall air an x-axis àicheil, agus mar sin is e an ceàrn fhèin ann an co-theacsa na trioblaid:
[180 cuairt – 88.99 cuairt \timcheall air 91.01 cuairt \]
Mar sin, tha fad mu 8.03 aonadan aig a’ vectar R a thig às a sin agus tha e a’ cruthachadh ceàrn 91.01° leis an x-axis dheimhinneach.
Tha an t-artaigil seo air beachdachadh air cur-ris vectar a rèir co-phàirtean, a’ toirt seachad grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus fuasglaidhean. Tha an dòigh a rèir co-phàirtean glè fheumail ann a bhith a’ sìmpleachadh àireamhachadh agus a’ toirt seachad dòigh shiostamach airson fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan vectar ann an tomhas matamataigeach fànais.
