Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Cur-ris is Toirt-às Gnìomhan
Tha cur-ris is toirt-air-falbh ghnìomhan na bhun-bheachd riatanach ann am matamataig. Chan e a-mhàin gu bheil am bun-bheachd seo cudromach ann an co-theacsan acadaimigeach ach tha iomadh cleachdadh practaigeach aige cuideachd ann am beatha làitheil agus raointean sgrùdaidh eile. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan cur-ris is toirt-air-falbh, còmhla ri mìneachaidhean mionaideach.
Mìneachaidhean agus Bun-bheachdan Bunasach
Mus tèid sinn a-steach do na ceistean eisimpleir, bruidhnidh sinn beagan mun mhìneachadh agus na bun-bheachdan a thaobh gnìomhan cur-ris agus toirt-air-falbh.
Cur-ris Gnìomh
Ma tha dà ghnìomh againn, f(x) agus g(x), is e gnìomh ùr a th’ ann an suim an dà ghnìomh seo, agus tha e air a mhìneachadh mar:
[(f + g)(x) = f(x) + g(x)]
Lùghdachadh Gnìomh
Tha toirt air falbh gnìomh air a mhìneachadh ann an dòigh choltach ri cur-ris gnìomh. Ma tha dà ghnìomh againn \(f(x) \) agus \(g(x) \), is e gnìomh ùr a th’ ann an toirt air falbh an dà ghnìomh seo air a mhìneachadh mar:
[(f – g)(x) = f(x) – g(x)]
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Seallaidh sinn air beagan eisimpleirean de dhuilgheadasan gus am bun-bheachd seo a shoilleireachadh.
Eisimpleir 1: Cur-ris Gnìomhan Lìnearach
Ma tha f(x) = 2x + 3 agus g(x) = x – 1, obraich a-mach (f + g)(x)).
Deasbad:
Is urrainn dhuinn an dà ghnìomh a chur ri chèile le bhith a’ cur nan teirmean co-fhreagarrach ris.
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = (2x + 3) + (x – 1)
\]
\[
(f + g)(x) = 2x + x + 3 – 1
\]
\[
(f + g)(x) = 3x + 2
\]
Mar sin, \((f + g)(x) = 3x + 2 \).
Eisimpleir 2: Toirt air falbh Gnìomhan Lìnearach
Ma tha f(x) = 4x + 5 agus g(x) = 2x – 3, obraich a-mach (f – g)(x)).
Deasbad:
Is urrainn dhuinn an dà ghnìomh a lùghdachadh le bhith a’ toirt air falbh na teirmean co-fhreagarrach.
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = (4x + 5) – (2x – 3)
\]
\[
(f – g)(x) = 4x + 5 – 2x + 3
\]
\[
(f – g)(x) = 2x + 8
\]
Mar sin, \((f – g)(x) = 2x + 8 \).
Eisimpleir 3: Cur-ris Gnìomhan Ceàrnagach
Ma tha f(x) = x² + 2x + 1 agus g(x) = -x² + 4x – 3, obraich a-mach (f + g)(x)).
Deasbad:
Is urrainn dhuinn an dà ghnìomh a chur ri chèile le bhith a’ cur nan teirmean co-fhreagarrach ris.
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = (x^2 + 2x + 1) + (-x^2 + 4x – 3)
\]
\[
(f + g)(x) = x^2 – x^2 + 2x + 4x + 1 – 3
\]
\[
(f + g)(x) = 6x – 2
\]
Mar sin, \((f + g)(x) = 6x – 2 \).
Eisimpleir 4: A’ toirt air falbh gnìomhan ceàrnagach
Ma tha \(f(x) = 3x^2 – 2x + 4 \) agus \(g(x) = x^2 + x – 5 \). Obraich a-mach \((f – g)(x) \).
Deasbad:
Is urrainn dhuinn an dà ghnìomh a lùghdachadh le bhith a’ toirt air falbh na teirmean co-fhreagarrach.
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = (3x^2 – 2x + 4) – (x^2 + x – 5)
\]
\[
(f – g)(x) = 3x^2 – x^2 – 2x – x + 4 + 5
\]
\[
(f – g)(x) = 2x^2 – 3x + 9
\]
Mar sin, \( (f – g)(x) = 2x^2 – 3x + 9 \).
Eisimpleir 5: Cur-ris agus Toirt-às Gnìomhan Eas-chruthach
Ma tha sinn a’ gabhail ris gu bheil f(x) = e^x agus g(x) = e^{-x}. Obraich a-mach:
1. \( (f + g)(x) \)
2. \( (f – g)(x) \)
Deasbad:
1. Gnìomh cur-ris:
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = e^x + e^{-x}
\]
Mar sin, \((f + g)(x) = e^x + e^{-x} \).
2. Lùghdachadh Gnìomh:
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = e^x – e^{-x}
\]
Mar sin, \((f – g)(x) = e^x – e^{-x} \).
Eisimpleir 6: Cur-ris agus Toirt-às Gnìomhan Triantan-eòlach
Ma tha f(x) = sin x agus g(x) = cos x. Obraich a-mach:
1. \( (f + g)(x) \)
2. \( (f – g)(x) \)
Deasbad:
1. Gnìomh cur-ris:
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
\]
\[
(f + g)(x) = sin x + cos x
\]
Mar sin, (f + g)(x) = sin x + cos x).
2. Lùghdachadh Gnìomh:
\[
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
\]
\[
(f – g)(x) = sin x – cos x
\]
Mar sin, (f – g)(x) = sin x – cos x).
Eisimpleir 7: Cleachdadh Cur-ris is Toirt-às Ghnìomhan ann an Duilgheadasan Fiosaigeach
Ma tha dà ghnìomh ann a tha a’ toirt cunntas air suidheachadh (ann am meatairean) dà chàr a tha a’ siubhal air an aon shlighe ann an tìm \(t \) (ann an diogan).
Càr A: \( f(t) = 5t + 2 \)
Càr B: \( g(t) = 3t + 4 \)
Co-dhùin:
1. Suidheachadh an dà chàr còmhla.
2. An diofar ann an suidheachadh an dà chàr aig àm \(t \).
Deasbad:
1. Gnìomh cur-ris:
\[
(f + g)(t) = f(t) + g(t)
\]
\[
(f + g)(t) = (5t + 2) + (3t + 4)
\]
\[
(f + g)(t) = 8t + 6
\]
Mar sin, is e 8t + 6 meatairean suidheachadh an dà chàr còmhla aig an àm t.
2. Lùghdachadh Gnìomh:
\[
(f – g)(t) = f(t) – g(t)
\]
\[
(f – g)(t) = (5t + 2) – (3t + 4)
\]
\[
(f – g)(t) = 2t – 2
\]
Mar sin, is e an diofar ann an suidheachadh an dà chàr aig àm \(t \) \( 2t – 2 \) meatairean.
Co-dhùnadh
Tha cur-ris is toirt-air-falbh ghnìomhan nan bun-bheachdan glè chudromach ann am matamataig. Is urrainn dhuinn dà ghnìomh a chur-ris no a thoirt-air-falbh le bhith a’ cur-ris no a’ toirt-air-falbh nan teirmean co-fhreagarrach. Chan e a-mhàin gu bheil am bun-bheachd seo feumail ann an co-theacsa acadaimigeach, ach tha mòran thagraidhean practaigeach aige cuideachd. Tro na diofar cheistean eisimpleir gu h-àrd, thathar an dòchas gun tuig luchd-leughaidh am bun-bheachd seo nas fheàrr.
