Ceistean Eisimpleir agus Deasbad air Cleachdadh Iomlaidean ann a bhith ag obrachadh a-mach Farsaingeachd Plèana Còmhnard
Ann an teagasg matamataig, bidh integralan gu tric air an lorg ann an àireamhachd. Is e aon de na cleachdaidhean as aithnichte de integralan obrachadh a-mach an raon fo lùb no plèana. Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh e air cleachdadh integralan ann an obrachadh a-mach raon plèana.
Ro-ràdh do Theòiridh
Mus tèid sinn air adhart chun na trioblaid eisimpleir, leig dhuinn sùil a thoirt air a’ bhun-bheachd mu bhith ag obrachadh a-mach an raon fo lùb le bhith a’ cleachdadh integrailean. Ma tha gnìomh f(x) againn a tha leantainneach air an eadar-ama [a, b], is e an raon fo lùb y = f(x) bho x = a gu x = b:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Gu geoimeatrach, tha seo a’ ciallachadh gu bheil sinn a’ cur farsaingeachd ceart-cheàrnach glè thana ri chèile bho x = a gu x = b.
Eisimpleir Ceist 1
Ceist
Obraich a-mach an raon fon lùb y = x² san eadar-ama [1, 3].
Deasbad
Gus an raon obrachadh a-mach, bidh sinn a’ cleachdadh an integral:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Tòisichidh sinn le bhith a’ lorg an fhrith-thoradh de \( x^2 \). Is e \( \frac{x^3}{3} \) an fhrith-thoradh de \( x^2 \). An uairsin bidh an t-iomlan mar seo:
[L = [x₁/₄]_1^3
Cuimhnich gum feum sinn an t-antiderivative a mheasadh air crìochan an integral:
[L = (3^3}{3) – (1^3}{3)]
[L = (27/3) – (1/3)]
[L = 9 – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{26}{3} \]
Mar sin, is e an raon fon lùb y = x² bho x = 1 gu x = 3:
\[ \frac{26}{3} \, \text{aonad farsaingeachd} \]
Eisimpleir Ceist 2
Ceist
Obraich a-mach farsaingeachd na sgìre a tha air a chuartachadh leis a’ lùb y = x³ agus na loidhnichean x = 1 agus x = 2.
Deasbad
Gus an raon obrachadh a-mach, bidh sinn a’ cleachdadh an integral:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Mar is àbhaist, tòisichidh sinn le bhith a’ lorg an fhrith-thoradh de \( x^3 \). Is e \( \frac{x^4}{4} \) an fhrith-thoradh de \( x^3 \). Bidh an t-iomlan a’ fàs mar seo:
[L = [x₁/₄]_1^2
Dèan measadh air crìochan an integrail:
[L = (2^4}{4) – (1^4}{4)]
[L = (16/4) – (1/4)]
[L = 4 – \frac{1}{4} \]
[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
[L = \frac{15}{4} \]
Mar sin, is e an raon fon lùb y = x³ bho x = 1 gu x = 2:
\[ \frac{15}{4} \, \text{aonad farsaingeachd} \]
Eisimpleir Ceist 3
Ceist
Obraich a-mach farsaingeachd na sgìre a tha air a chuairteachadh leis na lùban y = x² + 1 agus y = 2x + 2 san eadar-ama x = 0 gu x = 1.
Deasbad
An toiseach, feumaidh sinn na puingean-trasnaidh a lorg gus crìochan an amalachaidh a dhearbhadh. Am fuasgladh do \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
[x^2 + 1 = 2x + 2]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
A’ cleachdadh na foirmle ceàrnagach:
[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
[x = 1 pm ²]
Ach, airson nan crìochan àrda is ìosal eadar 0 agus 1, chan fheum sinn am fuasgladh ceàrnagach a chleachdadh, dìreach a’ chrìoch iomlan àbhaisteach bho 0 gu 1. An uairsin, obraich a-mach farsaingeachd na lùb y as àirde nas lugha na an lùb y as ìsle a rèir nan crìochan seo:
[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Sìmpleachadh gnìomh:
[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
An ath rud, lorg sinn an t-antiderivative:
Is e an t-ant-thoradh de \( (-x^2) \) \( -\frac{x^3}{3} \),
Is e an t-antiderivative de \( (2x) \) \( x^2 \),
Is e an t-antiderivative de \( (1) \) \( x \).
Mar sin,
[L = clì. clì(-frac{x^3}{3} + x^2 + x) |_0^1]
An ath mheasadh:
[L = [-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1] – [-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0]]
[L = [-frac{1}{3} + 1 + 1] – [0]
[L = -\frac{1}{3} + 2 \]
[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
[L = \frac{5}{3} \]
Mar sin, is e farsaingeachd na sgìre a tha air a chuartachadh leis na lùban y = x² + 1 agus y = 2x + 2 air an eadar-ama [0, 1]:
\[ \frac{5}{3} \, \text{aonad farsaingeachd} \]
-
Bho na h-eisimpleirean gu h-àrd, chì sinn mar as urrainnear integralan a chleachdadh gus an raon fo lùb no eadar dà lùb obrachadh a-mach. Le tuigse cheart air bun-bheachdan integralan agus dhòighean an-aghaidh toraidhean, bidh obrachadh a-mach nan raointean sin gu math siostamach agus èifeachdach. Tha sinn an dòchas gun do mheudaich an t-artaigil seo ar tuigse air cleachdadh integralan san t-saoghal fhìor, gu sònraichte ann an raon tomhas raon uachdar rèidh.
