Eisimpleir de Cheistean Deasbaid Obrachaidh Vector
’S e bun-bheachd matamataigs a th’ ann an obrachaidhean vectar a nochdas gu tric ann an diofar raointean rannsachaidh, leithid fiosaig, innleadaireachd agus saidheans coimpiutaireachd. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de obrachaidhean vectar agus na fuasglaidhean aca gus tuigse nas doimhne agus nas cinntiche a thoirt seachad. Còmhdaichidh na h-eisimpleirean seo obrachaidhean bunaiteach leithid cur-ris agus toirt-air-falbh vectar, a bharrachd air obrachaidhean nas adhartaiche leithid iomadachadh sgalar agus iomadachadh thar-vectar.
1. Cur-ris agus Toirt-às Vectar
Eisimpleir Ceist 1
Air an toirt seachad dà vectar A agus B ann an cruth co-phàirteach:
[A = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ end{pmatrix} \]
[B = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \\ end{pmatrix} \\]
Obraich a-mach toradh cur-ris agus toirt-air-falbh an dà vectar.
Deasbad
Airson cur-ris vectar, bidh sinn a’ cur gach pàirt co-fhreagarrach den dà vectar ris.
[\mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \\end{pmatrix}]
Airson toirt air falbh vectar, bidh sinn a’ toirt air falbh gach co-phàirt co-fhreagarrach den dà vectar.
[\mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\end{pmatrix} – \\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \\end{pmatrix} \]
2. Iomadachadh Sgalar le Vector
Eisimpleir Ceist 2
Air a thoirt seachad vectar C agus scalar k:
[C = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ end{pmatrix} \\]
\[k = 4 \]
Obraich a-mach toradh sgalar a’ vectar C le sgalar k.
Deasbad
Thèid iomadachadh scalar le vectar a dhèanamh le bhith a’ iomadachadh gach pàirt den vectar leis an scalar.
[k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 4 ≥ 1 \\ 4 \\ (-2) \\ 4 \\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \\end{pmatrix} \\]
3. Toradh Dot
Eisimpleir Ceist 3
Air a thoirt seachad dà vectar D agus E:
[D = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \\ end{pmatrix}]
\[ \mathbf{E} = \ tòisich {pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Obraich a-mach toradh dot an dà vectar.
Deasbad
Gheibhear toradh dotaichte dà vectar le bhith a’ cur toraidhean nan co-phàirtean co-fhreagarrach aca ri chèile.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Tar-thoradh
Eisimpleir Ceist 4
Air a thoirt seachad dà vectar F agus G:
[F = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ deireadh{pmatrix}]
[G = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ end{pmatrix} \\]
Obraich a-mach toradh-croise an dà vectar.
Deasbad
Gheibhear an toradh-tarsainn de dhà vectar ann an àite trì-thaobhach le bhith a’ cleachdadh determinant a’ mhaitris a chruthaichear leis na vectaran sin. Tha an toradh-tarsainn air a thoirt seachad leis an fhoirmle:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
Faodar seo obrachadh a-mach san dòigh a leanas:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrixf \vmatrix} +\k} 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\]
A’ tomhas determinant gach fo-mhaitrice:
\[
= ∫i(3₂ – 4₀-1) – ∫j(2₂ – 4₀1) + ∫k(2₀-1 – 3₀1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \\ deireadh{pmatrix}
\]
Mar sin, is e toradh-tarsainn F agus G:
[\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. A’ dearbhadh a’ cheàirn eadar dà vectar
Eisimpleir Ceist 5
Air a thoirt seachad dà vectar H agus I:
[H = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \\ deireadh{pmatrix}]
[ I = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \\ end{pmatrix}]
Obraich a-mach a’ cheàrn eadar an dà vectar.
Deasbad
Gheibhear an ceàrn _(\theta\) eadar dà vectar le bhith a’ cleachdadh a’ chàirdeis eadar an toradh dot agus meudan an dà vectar:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \\ \mathbf{I} \| \cos \theta \]
An toiseach, obraich a-mach an toradh dotaig \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
[H I = 6 1 + 2 4 + 3 (-2) = 6 + 8 – 6 = 8]
An ath rud, obraich a-mach meud an dà vectar:
\[ \\ \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \\ \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
An uair sin, cuir na luachan seo an àite foirmle a’ cheàirn:
\[ \cos \theta = \frac{ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \\ \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
[θ = cos^{-1} (frac{8}{7^21)]
Mar thoradh deireannach, is urrainn dhuinn an àireamhair a chleachdadh gus luach a’ cheàirn a lorg:
[Theta timcheall air 73,4 circumference]
Co-dhùnadh
Tha bun-bheachd obrachaidhean vectar deatamach ann am matamataig agus saidheans. Tha an t-artaigil seo a’ beachdachadh air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca, a’ dol bho chur-ris is toirt-air-falbh vectaran, iomadachadh sgalar, toradh dotagan, toradh-croise, agus a’ dearbhadh a’ cheàirn eadar dà vectar. Le bhith ag obair tro na h-eisimpleirean seo, tha sinn an dòchas do thuigse air obrachaidhean vectar a leasachadh agus do chuideachadh le bhith a’ fuasgladh dhuilgheadasan anns a bheil vectaran ann an diofar cho-theacsan.
