Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Chearcaill agus Chordaichean
’S e an cearcall aon de na cumaidhean geoimeatrach bunaiteach a thathas tric a’ sgrùdadh ann am matamataig. Is e aon bhun-bheachd chudromach co-cheangailte ri cearcallan an corda, is e sin loidhne a tha a’ ceangal dà phuing air cearcall gun a dhol tron mheadhan. Tha tuigse air cearcallan agus cordaichean riatanach airson geoimeatraidh a sgrùdadh. Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbadan co-cheangailte ri cearcallan agus cordaichean gus ar tuigse air na bun-bheachdan sin a dhoimhneachadh.
Tuigse Bhunasach
Cearcall
Is e cearcall cruinneachadh de na puingean uile ann am plèana a tha aig an aon astar bho phuing sònraichte ris an canar am meadhan. Ma tha meadhan a’ chearcaill na phuing O agus ma tha radius a’ chearcaill r, faodar an cearcall a chur an cèill leis a’ cho-aontar (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² ann an cruth Cartesian.
Sreang-bhogha
Is e corda ann an cearcall loidhne a cheanglas dà phuing air a’ chearcall. Tha fad corda an urra chan ann a-mhàin air radius a’ chearcaill ach cuideachd air meud a’ cheàirn mheadhanaich a tha mu choinneamh.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Ceist 1:
Ceist: Ma tha cearcall againn le radius 10 cm agus corda AB le fad 16 cm, obraich a-mach an t-astar as giorra bhon mheadhan den chearcall chun a’ chorda.
Deasbad:
Gus an t-astar bhon mheadhan a’ chearcaill chun a’ chorda a lorg, is urrainn dhuinn foirmle an triantan cheart-cheàrnach a chleachdadh a chaidh a chruthachadh eadar an radius, an t-astar bhon mheadhan chun a’ chorda, agus leth fhaid a’ chorda.
Ma tha puing O na meadhan a’ chearcaill agus gur e puing P am puing ann am meadhan a’ chorda AB a tha ceart-cheàrnach ri AB. Mar sin, is e OP an t-astar bho mheadhan a’ chearcaill O chun a’ chorda AB.
Ann an triantan OAP (triantan ceart-cheàrnach aig P), is urrainn dhuinn Teoirim Phythagorean a chur an sàs:
OP² + AP² = OA²
Tha fios againn gu bheil:
– OA (radius a’ chearcaill) = 10 cm
– AB (fad na sreinge bogha) = 16 cm, agus mar sin AP = 16/2 = 8 cm.
Cuir na luachan aithnichte an àite a’ cho-aontar:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Mar sin, is e 6 cm an t-astar as giorra bhon mheadhan den chearcall chun a’ chorda.
Ceist 2:
Ceist: Tha radius 8 cm aig cearcall le meadhan O. Tha an corda AB a’ cruthachadh ceàrn meadhanach ∠AOB de 120°. Obraich a-mach fad a’ chorda AB.
Deasbad:
Gus fad a’ chorda a chruthaicheas a’ cheàrn mheadhanach (θ) obrachadh a-mach, is urrainn dhuinn am foirmle a chleachdadh:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Càite:
– ’s e r radius a’ chearcaill (8 cm sa cheist seo)
– ’S e θ an ceàrn a tha air a dhèanamh leis a’ chorda aig meadhan a’ chearcaill (120° san duilgheadas seo)
Cuir na luachan aithnichte an àite:
AB = 2 × 8 cm × sin (120 ° / 2)
AB = 16 cm × sin (60°)
AB = 16 cm × (√3 / 2)
AB = 8√3 cm
Mar sin, tha fad a’ chorda AB 8√3 cm.
Ceist 3:
Ceist: Tha cearcall le radius 13 cm agus corda AB 5 cm bho mheadhan a’ chearcaill. Obraich a-mach fad a’ chorda AB.
Deasbad:
Anns a’ chùis seo, is urrainn dhuinn an triantan ceart-cheàrnach a chaidh a chruthachadh a chleachdadh gus fad a’ chorda a lorg. Abair gur e puing O meadhan a’ chearcaill, gur e puing P am puing air a’ chorda as fhaisge air a’ mheadhan, agus gur e AB an corda.
Tha fios againn:
– OA (radius a’ chearcaill) = 13 cm
– OP (astar sa mheadhan bhon t-sreang bogha) = 5 cm.
Anns an triantan seann daoine:
OP² + AP² = OA²
Lorgaidh sinn AP (leth fhaid a’ chorda):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Mar sin, tha fad a’ chorda AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 cm.
Ceist 4:
Ceist: Ma tha cearcall againn le radius 10 cm, tha fad 12 cm aig corda AB. Obraich a-mach meud a’ cheàirn mheadhanaich ∠AOB.
Deasbad:
Anns a’ chùis seo, feumaidh sinn an taobh eile den ghnìomh trigonometric a chleachdadh gus an ceàrn meadhanach ∠AOB a dhearbhadh. Stèidhichte air an fhoirmle airson fad corda anns a bheil an ceàrn meadhanach θ, is urrainn dhuinn an fhoirmle ath-sgrìobhadh gus θ obrachadh a-mach:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Càite:
– ’S e r radius a’ chearcaill (10 cm)
– ’S e AB fad na sreinge bogha (12 cm)
Suidhich co-aontar gus sin(θ/2) a sgaradh:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Lorg luach θ/2:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Mar sin,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Mar sin, tha a’ cheàrn mheadhanach ∠AOB 73.74°.
Co-dhùnadh
Feumaidh tuigse air geoimeatraidh agus triantanachd bhunasach a bhith agad nuair a bhios tu ag ionnsachadh chearcaill agus chordaichean. Anns na h-eisimpleirean gu h-àrd, chunnaic sinn mar a chleachdas sinn diofar fhoirmlean agus teòirimean, leithid Teoirim Phìothagoras, gnìomhan triantanachd, agus feartan bunaiteach chearcaill, gus fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan.
Tro na duilgheadasan cleachdaidh seo, thathar an dòchas gum faighear tuigse nas doimhne air a’ cheangal eadar an radius, fad a’ chorda, agus a’ cheàrn mheadhanach a thig às. Tha tuigse air a’ bhun-bheachd seo feumail chan ann a-mhàin ann am matamataig sgoile ach cuideachd ann an tagraidhean làitheil thar diofar raointean saidheans agus innleadaireachd.
