Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Co-dhèanamh Ghnìomhan agus Ghnìomhan Inbhir
Ann am matamataig, tha bun-bheachdan co-dhèanamh ghnìomhan agus gnìomhan neo-dhìreach nan dà chuspair dlùth-cheangailte a tha deatamach airson tuigse adhartach leithid àireamhachd, mion-sgrùdadh matamataigeach, agus teòiridh ghnìomhan. Bidh an artaigil seo a’ sgrùdadh an dà bhun-bheachd le bhith a’ toirt seachad grunn eisimpleirean agus deasbadan a tha furasta an tuigsinn. Is e an t-amas cuideachadh le luchd-leughaidh tuigsinn mar a bhios co-dhèanamh gnìomhan agus gnìomhan neo-dhìreach ag obair ann an dòigh nas practaigeach.
1. Co-dhèanamh Gnìomh
’S e co-dhèanamh gnìomh an obrachadh a bhith a’ cothlamadh dà ghnìomh ann an aon. Ma tha dà ghnìomh againn, f(x) agus g(x), is e co-dhèanamh nan gnìomhan sin (f(g)(x)), a tha air a leughadh mar “co-dhèanamh f g de x” no “f de g de x.” Tha an co-dhèanamh seo air a mhìneachadh mar a bhith a’ cur an gnìomh g(x) an toiseach, agus an uairsin a’ cur an gnìomh f ri toradh g(x).
Eisimpleir Ceist 1:
Ma tha na gnìomhan f(x) = 2x + 3 agus g(x) = x^2 – 1 air an toirt seachad, lorg co-dhèanamh (f = g)(x)) agus (g = f)(x)).
Deasbad:
1. Obraich a-mach (f₁₀ g)(x)):
((f timcheall air g)(x) = f(g(x)))
\( = f(x^2 – 1) \)
Cuir (x^2 – 1) an àite (f(x)):
(f(x^2 – 1) = 2(x^2 – 1) + 3)
(= 2x^2 – 2 + 3)
\( = 2x^2 + 1 \)
Mar sin, (f^g)(x) = 2x^2 + 1).
2. Obraich a-mach (g = f)(x):
((g timcheall air f)(x) = g(f(x)))
\( = g(2x + 3) \)
Cuir (g(x)) an àite (2x + 3):
(g(2x + 3) = (2x + 3)^2 – 1)
Cleachd an dearbh-aithne ceàrnagach gus obrachadh a-mach \( (2x + 3)^2 \):
(= 4x^2 + 12x + 9 – 1)
(= 4x^2 + 12x + 8)
Mar sin, (g = f)(x) = 4x^2 + 12x + 8).
2. Gnìomh Inbhir
Is gnìomh neo-dhìreach gnìomh a chuireas bun os cionn buaidh na gnìomh tùsail. Ma tha \(f \) na ghnìomh, is e gnìomh neo-dhìreach \(f \), sgrìobhte mar \(f^{-1} \), gnìomh a shàsaicheas \(f^{-1}(x)) = x \) agus \(f^{-1}(f(x)) = x \).
Gus gnìomh neo-dhìreach gnìomh a lorg, feumaidh sinn na leanas a dhèanamh:
1. Cuir (y) an àite (f(x)).
2. Fuasgail an co-aontar airson θ a thaobh θ (x) a thaobh θ (y).
3. Malairt na caochladairean _(x)_ agus _(y)_.
Eisimpleir Ceist 2:
Ma tha an gnìomh \(f(x) = 3x – 4 \) ann, lorg a chaochladh, is e sin \(f^{-1}(x) \).
Deasbad:
1. Cuir (y) an àite (f(x)):
(y = 3x – 4).
2. Fuasgail airson \(x \) a thaobh \(y \):
(y = 3x – 4)
Cuir 4 ri gach taobh den cho-aontar:
(y + 4 = 3x)
Roinn an dà thaobh den cho-aontar le 3:
(x = (y + 4) agus (3)
3. Malairt na caochladairean \(x \) agus \(y \):
(f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3})
Mar sin, is e an taobh eile de \( f(x) = 3x – 4 \) \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \).
3. Eisimpleirean de Cheistean le Measgachadh de Cho-dhèanamh agus Inbhir
Eisimpleir Ceist 3:
Air a thoirt seachad leis na gnìomhan \( f(x) = x^3 + 2 \) agus \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \). Dearbhaich gur e \( g(x) \) an taobh eile de \( f(x) \).
Deasbad:
Gus dearbhadh gur e g(x) an taobh eile de f(x)), feumaidh sinn sealltainn gu bheil (f(g)(x) = x) agus (g(f)(x) = x).
1. Seall gu bheil \( (f \circ g)(x) = x \):
((f timcheall air g)(x) = f(g(x)))
Cuir (g(x) = [3]{x – 2}) an àite (f(x)):
(f(g(x)) = f(qr[3]{x – 2}))
( = (qr[3]{x – 2})^3 + 2)
A chionn 's gu bheil ((x – 2)3 = x – 2):
\( = (x – 2) + 2 \)
\( = x \).
2. Seall gu bheil \( (g \circ f)(x) = x \):
((g timcheall air f)(x) = g(f(x)))
Cuir f(x) = x^3 + 2 an àite g(x):
(g(f(x)) = g(x^3 + 2))
(= \sqrt[3]{(x^3 + 2) – 2})
(= \sqrt[3]{x^3} \)
\( = x \).
Leis gu bheil (f(g)(x) = x) agus (g) = x), is e (g(x)) an taobh eile de (f(x)).
4. Cleachdaidhean ann am Beatha Làitheil
Eisimpleir Ceist 4:
Bidh saidheansair a’ cleachdadh dà mhodail matamataigeach air an cur an cèill leis na gnìomhan \(f(T) = 5T + 40 \) agus \(g(P) = \frac{P – 40}{5} \), far a bheil \(T \) na teòthachd ann an Celsius agus \(P \) na chuideam ann am Pascalan. Obraich a-mach a bheil an gnìomh \(g \) na mhalairt den ghnìomh \(f \).
Deasbad:
Gus dearbhadh gur e \(g \) an taobh eile de \(f \), feumaidh sinn sealltainn gu bheil \((f \circ g)(P) = P \) agus \((g \circ f)(T) = T \).
1. Seall gu bheil \( (f \circ g)(P) = P \):
((f timcheall air g)(P) = f(g(P)))
Cuir (g(P) = (P – 40)/(5)) an àite (f(T)):
(f(g(P)) = f(P – 40}{5))
(= 5(P – 40}{5) + 40)
\( = (P – 40) + 40 \)
\( = P \).
2. Seall gu bheil \( (g \circ f)(T) = T \):
((g timcheall air f)(T) = g(f(T)))
Cuir (g(P)) an àite (f(T) = 5T + 40):
\( g(f(T)) = g(5T + 40) \)
(= \frac{(5T + 40) – 40}{5})
(= \frac{5T}{5} \)
\( = T \).
Leis gu bheil (f)(P) = P agus (g)(T) = T), is e (g) an tionndadh den ghnìomh (f).
Co-dhùnadh
Tha bun-bheachdan co-dhèanamh ghnìomhan agus gnìomhan neo-dhìreach deatamach ann am matamataig. Chan e a-mhàin gu bheil iad gar cuideachadh le bhith a’ tuigsinn a’ cheangail eadar dà ghnìomh, ach tha iad cuideachd a’ toirt seachad a’ bhunait airson diofar thagraidhean practaigeach san t-saoghal fhìor, leithid fiosaig agus innleadaireachd. Le bhith a’ sgrùdadh nan eisimpleirean gu h-àrd, thathar an dòchas gum faigh luchd-leughaidh tuigse agus cleachdadh nas fheàrr air an dà bhun-bheachd seo.
