Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Cho-phàirtean Vector
’S e bun-bheachd bunaiteach a th’ ann am vectaran ann am fiosaig agus matamataig, air an cleachdadh gu tric gus cunntas a thoirt air meudan le meud agus stiùireadh. Tha tuigse mhionaideach air vectaran riatanach airson diofar dhuilgheadasan fhuasgladh ann an saidheans agus innleadaireachd. Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan anns a bheil co-phàirtean vectar, còmhla ris na mìneachaidhean aca.
Ro-ràdh do Vectaran
Is e meud a th’ ann am vectar aig a bheil dà phrìomh fheart: meud agus stiùireadh. Mar eisimpleir, is e meud vectar a th’ ann an astar oir tha meud (cho luath ‘s a tha e) agus stiùireadh (càit a bheil e a’ dol) ann. Gus vectaran a riochdachadh, bidh sinn tric a’ cleachdadh saighdean, far a bheil fad na saighde a’ riochdachadh a meud agus stiùireadh na saighde a’ comharrachadh a stiùireadh.
Bithear gu tric a’ cur vectar ann an àite dà-thaobhach an cèill mar 𝐀 = 𝑎ᵢ + 𝑏ⱼ, far a bheil 𝑎 agus 𝑏 nan co-phàirtean den vectar air na h-aisealan-x agus-y, agus ’s e 𝐢 agus 𝐣 na vectaran aonad air na h-aisealan-x agus-y.
Eisimpleir Ceist 1: A’ dearbhadh phàirtean vectar bho riochdachadh grafaigeach
Ceist: Tha puing tòiseachaidh aig vectar 𝐀 aig an tùs (0,0) agus puing crìochnachaidh aig co-chomharran (4,3). Obraich a-mach co-phàirtean a’ vectar 𝐀.
Deasbad: Faodar an vectar a thòisicheas bhon phuing tòiseachaidh (0,0) chun a’ phuing crìochnachaidh (4,3) a sgrìobhadh ann an cruth co-phàirteach mar 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣. Tha an co-phàirt air feadh an x-axis 4 agus air feadh an y-axis 3.
Eisimpleir Ceist 2: A’ dearbhadh meud vectar
Duilgheadas: Obraich a-mach meud a’ vectar 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣.
Deasbad: Faodar meud (no meud) vectar 𝐀 obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh foirmle Phìothagoras, is e sin:
\[ |𝐀| = \sqrt{𝑎² + 𝑏²} \]
Airson an vectar 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣, an uairsin:
[|𝐀| = \sqrt{4² + 3²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Mar sin, tha meud a’ vectar 𝐀 co-ionann ri 5 aonadan.
Eisimpleir 3: A’ cur dà vectar ri chèile
Ceist: Ma tha dà vectar 𝐁 = 2𝐢 + 3𝐣 agus 𝐂 = -𝐢 + 4𝐣 againn. Obraich a-mach suim nam vectaran 𝐁 agus 𝐂.
Deasbad: Gus dà vectar a chur ri chèile, bidh sinn dìreach a’ cur nan co-phàirtean san aon taobh ri gach vectar:
\\[ 𝐁 + 𝐂 = (2𝐢 + 3𝐣) + (-𝐢 + 4𝐣) \]
\[ = (2 + (-1))𝐢 + (3 + 4)𝐣 \]
\[ = 1𝐢 + 7𝐣 \]
Mar sin, is e toradh cur nan vectaran 𝐁 agus 𝐂 𝐃 = 𝐢 + 7𝐣.
Eisimpleir Ceist 4: A’ tomhas a’ cheàirn eadar dà vectar
Duilgheadas: Ma tha dà vectar 𝐀 = 3𝐢 + 4𝐣 agus 𝐁 = 4𝐢 – 3𝐣 againn. Obraich a-mach a’ cheàrn eadar an dà vectar.
Deasbad: Faodar an ceàrn eadar dà vectar obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh foirmle a’ chosine:
\[ \cos(𝜃) = \frac{ 𝐀 · 𝐁}{ |𝐀 | |𝐁|} \]
1. Obraich a-mach an toradh dot (𝐀 · 𝐁):
\[ 𝐀 · 𝐁 = (3𝐢 + 4𝐣) · (4𝐢 – 3𝐣) \]
\[ = (3 4) + (4 -3) \]
\[ = 12 – 12 \]
\[ = 0 \]
2. Obraich a-mach meud nan vectaran 𝐀 agus 𝐁:
[|𝐀| = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |𝐁| = \sqrt{4² + (-3)²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Cuir a-steach don fhoirmle cosine:
\[ \cos( 𝜃) = \frac{0}{5 5} = 0 \]
Leis gu bheil \(cos(𝜃) = 0\), tha \(𝜃 = 90°\). Mar sin, tha an ceàrn eadar an dà vectar 90 ceum.
Eisimpleir Ceist 5: A’ tomhas toradh-tarsainn vectaran
Duilgheadas: Ma tha dà vectar ann an trì tomhasan ann, 𝐀 = 𝐢 + 2𝐣 + 3𝐤 agus 𝐁 = 4𝐢 + 5𝐣 + 6𝐤, obraich a-mach an vectar toradh-croise 𝐀 × 𝐁.
Deasbad: Is e seo toradh-croise dà vectar ann an trì tomhasan (𝐀 × 𝐁):
\[ 𝐀 × 𝐁 = \begin{vmatrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ end{vmatrix} \]
\[ = 𝐢 (2 6 – 3 5) – 𝐣 (1 6 – 3 4) + 𝐤 (1 5 – 2 4) \]
\[ = 𝐢 (12 – 15) – 𝐣 (6 – 12) + 𝐤 (5 – 8) \]
\[ = 𝐢 (-3) – 𝐣 (-6) + 𝐤 (-3) \]
\[ = -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤 \]
Mar sin, is e toradh an toraidh-crois 𝐀 × 𝐁 -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤.
Co-dhùnadh
Ann am fiosaig agus matamataig, tha vectaran nan dòigh glè fheumail airson meudan a riochdachadh aig a bheil an dà chuid stiùireadh agus meud. Le bhith a’ tuigsinn mar a dh’aithnicheas sinn co-phàirtean vectar, mar a dh’obraicheas sinn a-mach meudan, mar a chuireas sinn vectaran ris, agus mar a dh’obraicheas sinn a-mach ceàrnan eadar vectaran agus toraidhean-tarsainn, is urrainn dhuinn diofar dhuilgheadasan a tha a’ toirt a-steach vectaran fhuasgladh. Tha an deasbad air na duilgheadasan eisimpleireach gu h-àrd ag amas air ar tuigse air a’ bhun-bheachd seo a dhoimhneachadh. Mu dheireadh, tha a bhith comasach air tuigse fhaighinn air vectaran agus obrachadh leotha na sgil glè fheumail ann an diofar raointean saidheans agus innleadaireachd.
