Eisimpleir de Cheistean Deasbaid Co-mheasgaichte
Tha measgachadh nam bun-bheachd cudromach ann an teòiridh coltachd agus staitistig, a’ leigeil leinn àireamh nan dòighean airson nithean a thaghadh bho sheata a chunntadh gun aire a thoirt don òrdugh. Ann an measgachadh, chan eil atharrachadh air òrdugh an taghaidh, eu-coltach ri permutations, far a bheil òrdugh an taghaidh deatamach. Bithear a’ cleachdadh measgachadh ann an raon farsaing de raointean, bho shaidheans coimpiutaireachd agus bith-eòlas gu eaconamas agus matamataig. Mìnichidh an t-artaigil seo bun-bheachd measgachadh agus bheir e seachad grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbadan gus do chuideachadh le do thuigse.
Bun-bheachd Bunasach air Co-thàthadh
Mus gluais sinn air adhart gu eisimpleirean de dhuilgheadasan, tòisichidh sinn le tuigse bhunasach air measgachaidhean.
Tha an cothlamadh de \(n\) nithean a chaidh a thogail \(r\) aig an aon àm air a chomharrachadh leis an comharradh \(\binom{n}{r}\) no \(\mathbf{C}(n, r)\). Is e am foirmle airson an cothlamadh obrachadh a-mach:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– ’S e \(n \) an àireamh iomlan de nithean a tha rim faighinn.
– \(r \) an àireamh de nithean a thèid a thaghadh.
– ! (factaraidh) 's e obrachadh matamataigeach a bhios ag iomadachadh àireamh leis na h-àireamhan dearbhach uile fodha suas gu 1.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1: A’ taghadh sgioba bho bhuidheann oileanach
Ceist:
Tha 10 sgoilearan ann an clas. Cia mheud dòigh anns an gabh 4 sgoilearan bhon chlas a thaghadh airson pàirt a ghabhail anns a’ cho-fharpais?
Deasbad:
A’ cleachdadh foirmle na co-mheasgachaidh:
[\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
A’ tomhas factarail:
– \( 10! = 10 \uairean 9 \uairean 8 \uairean 7 \uairean 6! \)
– \( 4! = 4 \uair 3 \uair 2 \uair 1 = 24 \)
– Tha \(6! \) aig a’ mhullach mu thràth, agus mar sin faodaidh e an 6! ann an \(10!\) a chur dheth.
Mar sin:
[\binom{10}{4} = \frac{10 x 9 x 8 x 7}{4 x 3 x 2 x 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Mar sin, tha 210 dòighean ann airson 4 oileanaich a thaghadh à 10 oileanaich.
Eisimpleir Ceist 2: Measgachaidhean a’ cleachdadh Seataichean Cairtean
Ceist:
À deic de 52 cairtean, cia mheud dòigh a tha ann airson làmh poker 5-cairt a thaghadh?
Deasbad:
A’ cleachdadh foirmle na co-mheasgachaidh:
[\binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
A’ tomhas factarail:
– \( 52! = 52 \uairean 51 \uairean 50 \uairean 49 \uairean 48 \uairean 47! \)
– \( 5! = 5 \uairean 4 \uairean 3 \uairean 2 \uairean 1 = 120 \)
– Tha \(47! \) aig a’ mhullach mu thràth, agus mar sin faodaidh e an 47! ann an \(52!\) a chur dheth.
Mar sin:
[\binom{52}{5} = \frac{52 x 51 x 50 x 49 x 48}{5 x 4 x 3 x 2 x 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Mar sin, tha 2,598,960 dòigh ann airson 5 cairtean a thaghadh à 52 cairt.
Eisimpleir Ceist 3: A’ tomhas measgachadh airson taghadh sgioba spòrs
Ceist:
Tha 15 cluicheadair ann an sgioba ball-basgaid. Ma tha an coidse airson 5 cluicheadairean a thaghadh mar luchd-tòiseachaidh, cia mheud dòigh as urrainn seo a dhèanamh?
Deasbad:
A’ cleachdadh foirmle na co-mheasgachaidh:
[\binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
A’ tomhas factarail:
– \( 15! = 15 \uairean 14 \uairean 13 \uairean 12 \uairean 11 \uairean 10! \)
– \( 5! = 5 \uairean 4 \uairean 3 \uairean 2 \uairean 1 = 120 \)
– Tha \(10! \) aig a’ mhullach mu thràth, agus mar sin faodaidh e an 10! ann an \(15!\) a chur dheth.
Mar sin:
[\binom{15}{5} = \frac{15 x 14 x 13 x 12 x 11}{5 x 4 x 3 x 2 x 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Mar sin, tha 3,003 dòighean ann airson 5 cluicheadairean a thaghadh à 15 cluicheadairean.
Eisimpleir Ceist 4: Measgachaidhean ann am Bith-eòlas
Ceist:
Ann an gàrradh, tha 8 diofar sheòrsaichean fhlùraichean ann. Cia mheud dòigh anns an gabh 3 seòrsaichean fhlùraichean a thaghadh gus rèiteachadh fhlùraichean a dhèanamh?
Deasbad:
A’ cleachdadh foirmle na co-mheasgachaidh:
[\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
A’ tomhas factarail:
– \( 8! = 8 \uairean 7 \uairean 6 \uairean 5! \)
– \( 3! = 3 \uaireannan 2 \uaireannan 1 = 6 \)
– Tha \(5! \) aig a’ mhullach mu thràth, agus mar sin faodaidh e an 5! ann an \(8!\) a chur dheth.
Mar sin:
[\binom{8}{3} = \frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Mar sin, tha 56 dòigh ann airson 3 seòrsaichean fhlùraichean a thaghadh à 8 seòrsaichean fhlùraichean.
Eisimpleir Ceist 5: Co-chur ann an Togail Sgioba
Ceist:
Tha 12 leabhar eadar-dhealaichte agad air sgeilp leabhraichean. Cia mheud dòigh as urrainn dhut 5 leabhraichean a thaghadh bhon 12?
Deasbad:
A’ cleachdadh foirmle na co-mheasgachaidh:
[\binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
A’ tomhas factarail:
– \( 12! = 12 \uairean 11 \uairean 10 \uairean 9 \uairean 8 \uairean 7! \)
– \( 5! = 5 \uairean 4 \uairean 3 \uairean 2 \uairean 1 = 120 \)
– Tha \(7! \) aig a’ mhullach mu thràth, agus mar sin faodaidh e an 7! ann an \(12!\) a chur dheth.
Mar sin:
[\binom{12}{5} = \frac{12 x 11 x 10 x 9 x 8}{5 x 4 x 3 x 2 x 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Mar sin, tha 792 dòigh ann airson 5 leabhraichean a thaghadh à 12 leabhar.
Co-dhùnadh
Tha measgachadh nan bun-bheachd glè fheumail ann an diofar raointean, gu h-àraidh nuair a dh’ fheumas sinn fios a bhith againn air an àireamh dhòighean airson nithean a thaghadh gun aire a thoirt don òrdugh. Le bhith a’ cleachdadh foirmle bunaiteach a’ mheasgachaidh \(\binom{n}{r}\), is urrainn dhuinn an obrachadh a-mach gu sgiobalta agus gu furasta, fhad ‘s a tha sinn a’ tuigsinn mar a tha factaraidhean ag obair. Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, tha sinn an dòchas tuigse nas coileanta agus nas soilleire fhaighinn air measgachadh. Cùm ort a’ cleachdadh le measgachadh de dhuilgheadasan gus do thuigse a neartachadh tuilleadh.
