Eisimpleir de cheist deasbaid air co-èifeachd dearbhaidh
Tha an co-èifeachd dearbhaidh (R²) na pharamadair cudromach ann an mion-sgrùdadh ath-tharraing, a’ sealltainn cho math ’s a mhìnicheas modail ath-tharraing fìor atharrachadh an dàta. San artaigil seo, mìnichidh sinn bun-bheachd a’ cho-èifeachd dearbhaidh tro eisimpleir agus deasbad mionaideach.
Bun-bheachd Co-èifeachd Dearbhaidh
Tha an co-èifeachd dearbhaidh no \(R^2 \) air a thomhas air sgèile bho 0 gu 1, far a bheil:
– Tha \( R^2 = 0 \) a’ comharrachadh nach urrainn don mhodail ath-tharraing mìneachadh idir air caochlaideachd an dàta.
– Tha \( R^2 = 1 \) a’ sealltainn gu bheil am modail ath-tharraing comasach air mìneachadh foirfe a thoirt air caochlaideachd an dàta.
Is e am foirmle bhunasach airson co-èifeachd dearbhaidh obrachadh a-mach:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Càite:
– ’S e SSR (Suim nan Fuigheall Ceàrnagach) suim cheàrnagan nan eadar-dhealachaidhean eadar na luachan a tha air an ro-innse leis a’ mhodail agus na fìor luachan.
– ’S e SST (Suim Iomlan nan Ceàrnagan) suim iomlan cheàrnagan nan eadar-dhealachaidhean eadar an luach fìor agus cuibheasachd nan luachan fìor.
Eisimpleir de dhuilgheadasan
Bruidhnidh sinn air eisimpleir de dhuilgheadas gus tuigse nas doimhne fhaighinn air mar a thathar a’ tomhas co-èifeachd a’ chinnidh.
Eisimpleir de dhuilgheadasan:
Abair gu bheil dàta againn air an àireamh de dh’uairean sgrùdaidh (X) agus sgòran deuchainn (Y) aig 10 oileanach:
| Oileanaich | Uairean Sgrùdaidh (X) | Sgòr Deuchainn (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Cruthaichidh sinn modail ath-tharraing loidhneach sìmplidh far a bheilear a’ ro-innse sgòran deuchainn (Y) stèidhichte air uairean sgrùdaidh (X).
Deasbad
1. A’ togail Modail Ath-tharraing Lìnearach Shìmplidh
Tha am foirm a leanas aig modail ath-tharraing loidhneach sìmplidh:
[Y = a + bX]
Càite:
– ’S e \(Y \) an sgòr deuchainn a thathar a’ ro-innse.
– \( X \) an àireamh de dh'uairean sgrùdaidh.
– ’S e (a) an t-eadar-ghearradh (puing an eadar-ghearraidh air an ais-Y nuair a tha X = 0).
– \(b \) 's e an leathad (claonadh na loidhne ath-thilleadh).
Gus na paramadairean \(a \) agus \(b \) obrachadh a-mach, bidh sinn a’ cleachdadh na foirmle a leanas:
[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Far a bheil \(n \) an àireamh dàta (sa chùis seo n = 10).
Bhon chlàr is urrainn dhuinn obrachadh a-mach:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Feuchaidh sinn ri b obrachadh a-mach an toiseach:
[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
[b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296}]
[b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
An uairsin, bidh sinn a’ tomhas a:
[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
[a = \frac{704 – 144}{10} \]
[a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Mar sin, is e am modail ath-tharraing loidhneach a gheibh sinn:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Obraich a-mach an Luach Ro-innseach (Y')
An ath rud, bidh sinn a’ tomhas an luach ro-innseach \(Y' \) airson gach \(X \):
| Oileanaich | Uairean Sgrùdaidh (X) | Sgòr Deuchainn (Y) | Sgòr Ro-innse (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. A’ tomhas SSR agus SST
An ath rud, bidh sinn a’ tomhas SSR agus SST gus \( R^2 \) fhaighinn.
SSR:
[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 ]
[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Càite:
[\bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
[SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2]
[SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76]
\[SST = 1107.44 \]
4. A’ tomhas a’ cho-èifeachd dearbhaidh \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Co-dhùnadh
Bhon àireamhachadh gu h-àrd, fhuair sinn co-èifeachd dearbhaidh (R2 = 0.59). Tha seo a’ sealltainn gun urrainn don mhodail ath-tharraing loidhneach a chruthaich sinn mìneachadh a dhèanamh air timcheall air 59% den atharrachadh ann an sgòran deuchainn stèidhichte air uairean sgrùdaidh. Dh’ fhaodadh an 41% a tha air fhàgail den atharrachadh a bhith mar thoradh air factaran eile nach eil air an gabhail a-steach sa mhodail.
Le bhith a’ tuigsinn nan ceumannan agus nan àireamhachadh gu h-àrd, chì sinn cho cudromach sa tha an co-èifeachd dearbhaidh ann a bhith a’ measadh dè cho math ’s a tha am modail ath-tharraing a thogas sinn a’ mìneachadh fìor atharrachadh an dàta. Tha e na inneal glè fheumail ann am mion-sgrùdadh staitistigeil agus modaladh dàta.
