Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Feartan Gnìomhan Ceàrnagach
’S e cuspair cudromach ann am matamataig a th’ anns a’ ghnìomh ceàrnagach a lorgar gu tric ann an curraicealam na h-àrd-sgoile. Is e cruth coitcheann gnìomh ceàrnagach _(f(x) = ax^2 + bx + c _), far a bheil _(a _), _(b _), agus _(c _) nan cunbhalachdan le _(a _neq 0 _). Tha an deasbad air feartan ghnìomhan ceàrnagach a’ toirt a-steach diofar thaobhan leithid axis na co-chothromachd, vertex, luachan as àirde no as ìsle, agus stiùireadh a’ pharabola. Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca gus tuigse nas fheàrr fhaighinn air feartan ghnìomhan ceàrnagach.
1. Ceist: A’ dearbhadh an Axis Co-chothromachd agus a’ Chinn-uidhe
Eisimpleir de dhuilgheadasan:
Ma tha gnìomh ceàrnagach againn \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). Obraich a-mach ais na co-chothromachd agus bàrr na gnìomh.
Deasbad:
Gus axis co-chothromachd a’ ghnìomh cheàrnagach (ax² + bx + c) a dhearbhadh, bidh sinn a’ cleachdadh na foirmle:
[x = -\frac{b}{2a}]
Anns a’ ghnìomh a chaidh a thoirt seachad \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \), tha na luachan \( a = 2 \) agus \( b = -4 \). Cuir na luachan seo an àite na foirmle:
[x = -\frac{-4}{2 ≥ 2}]
[x = \frac{4}{4} \]
\[x = 1 \]
Mar sin, is e ais co-chothromachd na gnìomha \(x = 1 \).
Gus am bàrr a lorg, cuiridh sinn luach an ais-chothromachd a-steach don ghnìomh:
[f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1]
[f(1) = 2 – 4 + 1]
[f(1) = -1]
Mar sin, is e \((1, -1) \) bàrr na gnìomha.
2. Ceist: A’ dearbhadh stiùireadh parabola
Eisimpleir de dhuilgheadasan:
Obraich a-mach stiùireadh a’ pharabola den ghnìomh ceàrnagach \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).
Deasbad:
Tha stiùireadh parabola gnìomh ceàrnagach air a dhearbhadh le luach a’ cho-èifeachd _(a_).
– Ma tha \(a > 0 \), bidh am parabola a’ fosgladh suas.
– Ma tha \(a < 0 \), bidh am parabola a’ fosgladh sìos.
Anns a’ ghnìomh a chaidh a thoirt seachad \(f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \), is e an luach \(a = -3 \). Leis gu bheil (a < 0), bidh am parabola a’ fosgladh sìos.
3. Ceist: A’ lorg freumhan gnìomh ceàrnagach Eisimpleir Ceist: Lorg freumhan a’ ghnìomh ceàrnagach \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \).
Deasbad: Gheibhear freumhan gnìomh ceàrnagach le bhith ga fhactarachadh no a’ cleachdadh na foirmle ceàrnagach. Cuiridh sinn factaraidh air: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Lorg dà àireamh a tha co-ionann ri 6 nuair a thèid an iomadachadh agus -5 nuair a thèid an cur ri chèile. Is iad na h-àireamhan -2 agus -3.
[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0] Mar sin, is iad na freumhaichean: [x - 2 = 0 no x - 3 = 0] [x = 2 no x = 3] 4. Ceist: Eisimpleir de Luach as Motha no as Motha Ceist: Obraich a-mach luach as lugha na gnìomh ceàrnagach \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).
Deasbad: Gus luach as ìsle a’ ghnìomh cheàrnagach (ax² + bx + c) a dhearbhadh, feumaidh sinn sgrùdadh a dhèanamh a bheil am parabola a’ fosgladh suas no sìos. Ma tha \(a > 0 \), fosglaidh am parabola suas agus tha luach as ìsle aige; ma tha \(a < 0 \), fosglaidh am parabola sìos agus tha luach as àirde aige.
Anns a’ ghnìomh a chaidh a thoirt seachad \(f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \), tha luach \(a = 2 \), agus mar sin bidh am parabola a’ fosgladh suas agus tha luach as ìsle aige.
Bidh an luach as ìsle a’ tachairt aig a’ phuing as àirde. Tha fios againn mu thràth air ais na co-chothromachd (x = -b/2a). Airson a’ ghnìomh seo: [x = -\frac{-4}{2 \cdot 2}] [x = \frac{4}{4}] [x = 1] Cuir (x = 1) a-steach don ghnìomh gus an luach as ìsle a lorg: [f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5] [f(1) = 2 - 4 + 5] [f(1) = 3] Mar sin, is e 3 an luach as ìsle den ghnìomh.
5. Ceist: Eisimpleir de Ghraf Gnìomh Ceàrnagach Ceist: Cruthaich graf den ghnìomh ceàrnagach \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \).
Deasbad: Gus graf de ghnìomh ceàrnagach a tharraing, feumaidh sinn grunn fheartan cudromach a lorg leithid ais na co-chothromachd, am bàrr, agus freumhan na gnìomh, a bharrachd air stiùireadh a’ pharabola.
1. Axis na Co-chothromachd: [x = -\frac{b}{2a}] Anns a’ ghnìomh (f(x) = -x^2 + 4x - 3), tha na luachan (a = -1) agus (b = 4) aig a’ charactar seo.
[x = -\frac{4}{2(-1)}] [x = -\frac{4}{-2}] [x = 2] 2. Buinn: Cuir \(x = 2 \) a-steach don ghnìomh gus am buinn a lorg: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] Is e \((2, 1) \) am buinn.
3. Stiùireadh a’ Pharabola: Leis gu bheil (a = -1), bidh am parabola a’ fosgladh sìos.
4. Freumhan Gnìomh Ceàrnagach: [-x^2 + 4x - 3 = 0] Is urrainn dhuinn am foirmle ceàrnagach a chleachdadh: [x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}] Airson (a = -1), (b = 4), agus (c = -3): [x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)}] [x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2}] [x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2}] [x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2}] Dà fhuasgladh: [x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1] [x = \frac{-2 - 2}{-2} = 3 \] Is iad na freumhaichean \(x = 1 \) agus \(x = 3 \).
Leis an fhiosrachadh seo uile, is urrainn dhuinn gnìomh ceàrnagach a ghrafaigeadh. Tha bàrr aig a’ pharabola seo aig (2, 1), a’ fosgladh sìos, le freumhaichean aig (x = 1) agus (x = 3).
Co-dhùnadh Tro na h-eisimpleirean de cheistean a chaidh a dheasbad, is urrainn dhuinn tuigse nas fheàrr fhaighinn air na diofar fheartan a tha aig gnìomhan ceàrnagach. Tha eòlas air mar a dh’aithnicheas tu ais na co-chothromachd, bàrr, luach as àirde no as ìsle, stiùireadh a’ pharabola, agus freumhan a’ ghnìomh cheàrnagach glè chudromach gus cumadh agus feartan a’ pharabola a mhìneachadh. Bheir deagh thuigse air na bun-bheachdan seo bunait làidir do dh’ oileanaich gus cuspairean matamataig a sgrùdadh nas fhaide.
