Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Seòrsachan Maitrísean
Tha maitrísean nam bun-bheachd ann an ailseabra loidhneach agus tha iad deatamach ann an diofar mheuran saidheans, leithid fiosaig, eaconamas, staitistig agus innleadaireachd. Tha maitrísean air an dèanamh suas de eileamaidean ceart-cheàrnach air an rèiteachadh ann an sreathan agus colbhan. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air diofar sheòrsaichean maitrísean, còmhla ri eisimpleirean agus fuasglaidhean airson gach seòrsa.
1. Maitrís Dearbh-aithne
Is e maitrís dearbh-aithne maitrís ceàrnagach aig a bheil 1 eileamaid air a phrìomh thrastain (bho mhullach clì gu bonn deas) agus 0 eileamaid far a’ phrìomh thrastain. Mar as trice, canar \(I\) ris a’ mhaitrís dearbh-aithne.
Contoh:
\[ I_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Ma tha A = pmatrix
5 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \), lorg toradh iomadachadh \(A \) leis a’ mhaitris dearbh-aithne \(I \).
Deasbad:
Airson a’ mhaitris 2 × 2, ’s e seo a’ mhaitris dearbh-aithne:
\[ I = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \]
Mar sin, is e an iomadachadh:
\[ AI = \begin{pmatrix}
5 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} \]
Is e an toradh fhathast am maitrís \(A\) fhèin.
2. Maitrís neoni
Is e maitrís neoni maitrís aig a bheil na h-eileamaidean uile co-ionann ri 0. Mar as trice, canar \(0\) ri maitrís neoni.
Contoh:
\[ 0_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Ma tha B = pmatrix
3 & 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix}\), lorg an toradh \(B + 0\).
Deasbad:
Bheir iomadachadh leis a’ mhaitris neoni an aon toradh ris a’ mhaitris thùsail:
\[ B + 0 = \begin{pmatrix}
3 & 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 7 \\
5 & 9
\end{pmatrix} \]
3. Maitrís Trastain
Is e maitrís ceàrnagach a th’ ann am maitrís trasnanach anns a bheil a h-uile eileamaid taobh a-muigh a’ phrìomh thrasnanach co-ionann ri 0. Faodaidh na h-eileamaidean air a’ phrìomh thrasnanach a bhith eadar-dhealaichte, ach feumaidh na h-eileamaidean taobh a-muigh a’ phrìomh thrasnanach uile a bhith co-ionann ri 0.
Contoh:
\[ D = \begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{pmatrix} \]
Ceist:
An e maitrís trastain a tha sa mhaitrís a leanas?
\[ C = \begin{pmatrix}
5 & 0 \\
0 & 6
\end{pmatrix} \]
Deasbad:
'S e maitrís ceàrnagach a th' ann an C le eileamaidean taobh a-muigh a' phrìomh thrastain uile aig 0. Mar sin, 's e maitrís trastain a th' ann an \(C \) gu dearbh.
4. Maitrís Sgalar
'S e cruth sònraichte de mhaitris trasnanach a th' ann am maitrís sgalar anns a bheil a h-uile eileamaid den phrìomh thrasnanach co-ionnan. Faodar smaoineachadh air maitrís sgalar mar iomadaichear sgalar air maitrís dearbh-aithne.
Contoh:
\[ S = \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
0 & 4
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Dearbhaich gur e maitrís sgalar a th’ anns a’ mhaitrís \(T\) gu h-ìosal:
\[ T = \begin{pmatrix}
7 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{pmatrix} \]
Deasbad:
'S e matrais trasnanach a th' anns a' mhaitris \(T\) far a bheil a h-uile eileamaid den phrìomh thrasnanach 7. Mar sin, 's e matrais sgalar a th' ann an \(T\).
5. Maitrís Co-chothromach
Is e maitrís cheàrnagach a th’ ann am maitrís cho-chothromach a tha co-ionann ris an tras-loidhne aige. Tha seo a’ ciallachadh gu bheil na h-eileamaidean co-chothromach mun phrìomh thrastain co-ionann, is e sin, \(A_{ij} = A_{ji}\) airson gach \(i\) agus \(j\).
Contoh:
\[ A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
1 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Thoir sùil a bheil am maitrís a leanas na maitrís co-chothromach:
\[ B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \]
Deasbad:
Is e seo an tar-chur de \(B\):
\[ B^T = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \]
Leis gu bheil \(B = B^T \), tha \(B \) na mhaitrice co-chothromach.
6. Maitrís Thriantan
Tha dà sheòrsa de mhaitris triantanach ann: triantanach àrd agus triantanach ìosal. Tha a h-uile eileamaid fo phrìomh thrasnan co-ionann ri 0 ann am maitrís triantanach àrd, agus tha a h-uile eileamaid os cionn prìomh thrasnan co-ionann ri 0 ann am maitrís triantanach ìosal.
Eisimpleir den Triantan Uachdarach:
\[ U = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 6 \\
0 & 0 & 7
\end{pmatrix} \]
Eisimpleir den Triantan Ìochdarach:
\[ L = \begin{pmatrix}
8 & 0 & 0 \\
5 & 6 & 0 \\
3 & 4 & 2
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Co-dhùin na seòrsaichean maitrís a leanas:
\[ C = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 3
\end{pmatrix} \]
Deasbad:
Leis gu bheil na h-eileamaidean uile fon phrìomh thrasgan co-ionann ri 0, tha \(C \) na mhaitris trì-cheàrnach uachdarach.
7. Maitrís Ortagonal
Is e maitrís ortogonal maitrís ceàrnagach \(A\) a choinnicheas ris a’ cho-aontar \(A^TA = AA^T = I \), far a bheil \(A^T \) na thar-chur de \(A\) agus \(I\) na maitrís dearbh-aithne.
Contoh:
\[ Q = \begin{pmatrix}
1/2 & ⅔ ⅔
\qrt{3}/2 & -1/2
\end{pmatrix} \]
Ceist:
Dearbhaich a bheil na matrais gu h-ìosal ceart-cheàrnach:
\[ P = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \]
Deasbad:
An toiseach, obraichidh sinn a-mach tar-chur \(P\):
\[ P^T = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \]
An uairsin bidh sinn a’ tomhas \( P^TP \):
\[ P^TP = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = I \]
Leis gu bheil \(P^TP = I \), tha \(P\) na mhaitris ortogonal.
Le bhith a’ tuigsinn nan diofar sheòrsaichean maitrís agus na feartan aca, is urrainn dhuinn fuasglaidhean a dhearbhadh nas fhasa do dhiofar dhuilgheadasan matamataigeach a tha a’ toirt a-steach maitrís. Tha feartan sònraichte aig gach seòrsa maitrís a ghabhas cleachdadh ann an diofar thagraidhean saidheansail is teicnigeach.
