Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Earrannan Cònach Eliptigeach
Pendahuuan
’S e saidheans bunaiteach a th’ ann am matamataig a tha a’ cluich pàirt riatanach ann an diofar thaobhan de bheatha dhaoine. Is e cuspair gu sònraichte dùbhlanach ann am matamataig geoimeatraidh, gu sònraichte earrannan cònaigeach. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air aon earrann cònaigeach mar sin: an eileips. Bheir an artaigil seo eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbad coileanta air eileipsean, agus tha sinn an dòchas gun cuidich e oileanaich gus an cuspair seo a thuigsinn nas doimhne.
Mìneachadh agus Feartan Ellipse
Mus tèid sinn a-steach do na ceistean eisimpleir, tha e feumail tuigsinn an toiseach dè a th’ ann an eileips. Is e eileips cruinneachadh de na puingean uile ann am plèana aig a bheil suim nan astaran bho dhà phuing stèidhichte (na fòcasan aige) seasmhach. Canar fòcasan an eileips ris an dà phuing stèidhichte seo (F1 agus F2).
Ann an cruth ailseabrach, faodar ellipse a mhìneachadh leis a cho-aontar coitcheann:
[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
far a bheil \(a \) an t-astar bho mheadhan an eileips chun a’ phuing as fhaide air falbh air an ais mhòr, agus \(b \) an t-astar bho mheadhan an eileips chun a’ phuing as fhaide air falbh air an ais chuideachail.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Ellipses
Ceist 1:
Is e co-aontar an eileipse \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Obraich a-mach fad na prìomh ais, fad na h-ais co-phàirteach, agus co-chomharran nam fòcasan.
Deasbad:
Is e co-aontar an eileipse a chaidh a thoirt seachad \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).
1. Obraich a-mach fad a’ phrìomh ais agus an ais co-phàirteach:
[ a^2 = 25 \Rightarrow a = \sqrt{25} = 5 \]
[b^2 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3 \]
Mar sin, fad an ais mhòir \(= 2a = 2(5) = 10\).
Fad an ais-chuideachaidh _(= 2b = 2(3) = 6_).
2. Obraich a-mach co-chomharran an fhòcais:
Tha fòcas an ellipse air an ais mhòr aig astar bho mheadhan \(\sqrt{a^2 – b^2}\).
[c = √{a² – b²} = √{25 – 9} = √{16} = 4]
Leis gur e an ais-x prìomh ais an ellipse seo, is iad seo na co-chomharran fòcais:
((c, 0)) agus (-c, 0)) no (4, 0)) agus (-4, 0)).
Ceist 2:
Ma tha eileips aig a bheil meadhan aig \( (0, 0) \) agus prìomh ais air an x-axis, tha fad a’ phrìomh ais 12 agus fad ais co-phàirteach de 8 ann. Obraich a-mach co-aontar an eileips.
Deasbad:
1. Ma tha fad a’ phrìomh ais (2a = 12) ann, tha:
[a = \frac{12}{2} = 6 \]
2. Ma tha fad an ais-chuideachaidh _(2b = 8_) ann, an uairsin:
[b = \frac{8}{2} = 4 \]
Is e co-aontar eileipse leis a’ mheadhan aig \( (0, 0) \) agus a’ phrìomh ais air an x-axis:
[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Cuir a(a) agus b) an àite a’ cho-aontar:
[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \]
Mar sin, is e co-aontar an ellipse:
[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \]
Ceist 3:
Obraich a-mach cho eas-chruthach sa tha an ellipse (\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1).
Deasbad:
Tha eas-chruthachd (\(e \)) eileips air a thoirt seachad leis a’ cho-aontar:
[e = \frac{c}{a}]
far a bheil (c = ∫sqrt{a² – b²}).
Bho cho-aontar an ellipse, gheibh sinn:
[ a^2 = 49 \Rightarrow a = 7 \]
[b^2 = 36 \Rightarrow b = 6 \]
A-nis, lorg sinn \(c \):
[c = √{a² – b²} = √{49 – 36} = √{13}]
Neo-àbhaisteachd (\( e \)):
[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Mar sin, is e eas-chruthachd an ellipse:
[e = \frac{\sqrt{13}}{7} \]
Ceist 4:
Ma tha dà phrìomh phuing an eileips suidhichte aig \( (-5, 0) \) agus \( (5, 0) \), agus ma tha fad prìomh ais an eileips 12, obraich a-mach co-aontar an eileips.
Deasbad:
1. Obraich a-mach \(a \):
Tha prìomh ais Panmaßn g co-ionann ri 12, agus an uairsin (2a = 12).
Mar sin (a = 12/2 = 6).
2. Obraich a-mach \(c \):
Is iad an dà phuing fòcais \( (-5, 0) \) agus \( (5, 0) \), agus an uairsin:
\[c = 5 \]
3. Obraich a-mach \(b \):
Cleachd an dàimh \(c = \sqrt{a^2 – b^2} \):
[5 = \sqrt{6^2 – b^2} \]
\[ 25 = 36 – b^2 \]
[b^2 = 36 – 25]
\[ b^2 = 11 \]
4. Till co-aontar an eileipse:
Is e co-aontar eileipse:
[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
A’ cur (a) agus (b) an àite (b):
[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{\sqrt{11}^2} = 1 \]
[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Mar sin, is e co-aontar an ellipse:
[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \]
Penutup
Tro bhith a’ bruidhinn air na duilgheadasan gu h-àrd, chì sinn gu bheil tuigse air eileipsean a’ toirt a-steach barrachd air dìreach sgrùdadh a dhèanamh air na co-aontaran agus na grafaichean aca, ach cuideachd mar a tha feartan agus eileamaidean eileipsean co-cheangailte ri chèile. Gun teagamh, bidh maighstireachd air an stuth seo glè fheumail ann an diofar raointean tagraidh, leithid fiosaig, reul-eòlas, agus raointean innleadaireachd eile. Tha sinn an dòchas, tro na duilgheadasan agus na còmhraidhean eisimpleireach seo, gun urrainn dhut tuigse nas fheàrr fhaighinn air bun-bheachdan agus tagraidhean earrannan cònaigeach eileipseach.
Chaidh an t-artaigil seo a sgrìobhadh leis an dòchas tuigse nas doimhne a thoirt seachad air eileipsean. Cùm ort a’ cleachdadh agus na bi leisg barrachd cheistean co-cheangailte a sgrùdadh gus do sgilean agus d’ eòlas a leasachadh!
