Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Dearbh-aithnean Poileanomach
’S e bun-bheachd ann an ailseabra a th’ ann an dearbh-aithnean poileanomach, air an cleachdadh gu tric gus abairtean matamataigeach a dhèanamh nas sìmplidhe agus gus diofar sheòrsaichean dhuilgheadasan fhuasgladh. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus fuasglaidhean a tha a’ toirt a-steach dearbh-aithnean poileanomach gus ar tuigse air a’ chuspair a dhoimhneachadh. Tòisichidh sinn leis a’ mhìneachadh agus an uairsin gluaisidh sinn air adhart gu eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca.
Mìneachadh air Dearbh-aithne Polaineamach
Is e co-aontar a th’ ann an dearbh-aithne poileanomach a tha a’ cumail airson gach luach de na caochladairean. Mar eisimpleir, is e dearbh-aithne poileanomach ainmeil:
[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2]
Tha an dearbh-aithne seo a’ buntainn ri gach luach de \(a \) agus \(b \). Tha mòran dearbh-aithnean cudromach eile ann an ailseabra, leithid:
[(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2]
[ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)]
A-nis leig dhuinn sùil a thoirt air beagan eisimpleirean de dhuilgheadasan gus soilleireachadh a dhèanamh air mar a thathar a’ cleachdadh dearbh-aithnean poileanomach.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir 1: A’ sìmpleachadh abairt
Ceist:
Sìmplich na h-abairtean a leanas le bhith a’ cleachdadh dearbh-aithnean poileanomach:
\[ (2x + 3y)^2 \]
Deasbad:
Bidh sinn a’ cleachdadh an dearbh-aithne poileanomach bunaiteach:
[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2]
An seo, tha (a = 2x) agus (b = 3y). Le bhith a’ cur nan luachan seo an àite an dearbh-aithne gheibh sinn:
\[ (2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3y) + (3y)^2 \]
\[ = 4x^2 + 12xy + 9y^2 \]
Mar sin, is e an abairt shìmplichte:
[4x^2 + 12xy + 9y^2]
Eisimpleir 2: Co-aontar Dearbh-aithne
Ceist:
Dearbhaich na dearbh-aithnean poileanomach a leanas:
\[(x – y)^2 + (x + y)^2 = 2(x^2 + y^2) \]
Deasbad:
Leudaichidh sinn an dà thaobh den cho-aontar agus chì sinn a bheil an dà abairt co-ionann.
Thoir sùil air an taobh chlì:
[(x – y)^2 + (x + y)^2]
Cleachd na dearbh-aithnean \( (a – b)^2 \) agus \( (a + b)^2 \):
[ = (x^2 – 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)]
Cuir an dà abairt còmhla:
\[ = x^2 – 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 \]
\[ = x^2 + x^2 + y^2 + y^2 \]
\[ = 2x^2 + 2y^2 \]
Chaidh an taobh clì a shìmpleachadh gu ∫(2(x² + y²)∫), a tha co-ionann ris an taobh deas. Mar sin, tha an dearbh-aithne seo air a dhearbhadh.
Eisimpleir 3: Factarachadh Polaimeanan
Ceist:
Factaraich na poileanomaidean a leanas:
\[ x^4 – 16 \]
Deasbad:
’S urrainn dhuinn an dearbh-aithne (a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)) a chleachdadh. An seo, thoir an aire gum faodar (x^4) a sgrìobhadh mar (x^2)^2):
[x^4 – 16 = (x^2)^2 – 4^2]
Cleachd dearbh-aithne:
\[ = (x^2 – 4)(x^2 + 4) \]
Ach, faodar \( x^2 – 4 \) a fhactarachadh nas fhaide fhathast oir:
[x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)]
Mar sin, is e seo am factarachadh iomlan:
[x^4 – 16 = (x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)]
Eisimpleir 4: Poileanomaidean Ìre Àirde
Ceist:
Leis na dearbh-aithnean poileanomach a leanas:
[x^5 – 1 = (x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)]
Dearbhaich an dearbh-aithne.
Deasbad:
Dearbhaidh sinn seo le bhith a’ dèanamh roinneadh poileanomach. Tha an dòigh seo a’ toirt a-steach roinneadh \(x^5 – 1 \) le \(x – 1 \) agus an uairsin dearbhadh gu bheil an còrr dha-rìribh neoni.
Dèan roinneadh poileanomach:
1. Roinn na teirmean as àirde (x^5) le (x) gus a’ chiad teirm (x^4) fhaighinn.
2. Iomadaich \(x^4 \) le \(x – 1 \) agus thoir an toradh air falbh bho \(x^5 – 1 \).
3. Dèan a-rithist am pròiseas seo gus an tèid na teirmean uile a thoirt air falbh.
Às dèidh dhuinn an roinneadh a dhèanamh, gheibh sinn:
[x^5 – 1 ∫(x-1) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1]
Leis nach eil fuigheall ann, tha seo a’ sealltainn gu bheil:
[x^5 – 1 = (x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)]
Eisimpleir 5: Polaimeanan agus Freumhan Iom-fhillte
Ceist:
Ma tha \(x + 1 \) na fhactar de phoileanom \(f(x) \), lorg freumhan eile a’ phoileanom ma tha \(f(x) = x^3 + x^2 – 6x – 6 \) air a thoirt seachad.
Deasbad:
Nuair a tha \(x + 1 \) na fhactar de \(f(x) \), tha seo a’ ciallachadh gur e \(x = -1 \) aon de fhreumhan a’ phoileanoim.
Dèan Roinneadh Poileanomach Dìreach:
1. Roinn \(f(x) \) le \(x + 1 \) a’ cleachdadh an dòigh roinneadh fhada no roinneadh sintéiseach.
2. Lùghdaich am poileanomach leis an teirm a fhuaireadh.
Às dèidh dhuinn roinneadh sintéiseach a dhèanamh, gheibh sinn:
[f(x) = (x + 1)(x^2 – 6)]
Far am faodar \( x^2 – 6 \) a bhriseadh sìos tuilleadh ann an:
[x^2 – 6 = (x – √(x + √(6))(x + √(6))]
Mar sin, is iad freumhan a’ phoilineim:
[x = -1, x = 6, x = -6]
Leis na diofar eisimpleirean gu h-àrd, tha sinn air tuigsinn mar a thathar a’ cleachdadh dearbh-aithnean poileanomach ann a bhith a’ sìmpleachadh abairtean, a’ dearbhadh cho-aontaran, a’ factaradh poileanomaichean, agus a’ lorg freumhan poileanomaichean.
Co-dhùnadh
Tha pàirt chudromach aig dearbh-aithnean poileanomach ann an ailseabra, a’ sìmpleachadh abairtean matamataigeach, a’ factaradh poileanomach, agus a’ fuasgladh cho-aontaran. Faodaidh tuigse agus cleachdadh dearbh-aithnean poileanomach ar cuideachadh le bhith a’ dèiligeadh ri diofar dhuilgheadasan matamataigeach nas èifeachdaiche. Tha sinn an dòchas gun toir na h-eisimpleirean air an deach beachdachadh san artaigil seo tuigse nas doimhne air dearbh-aithnean poileanomach agus na cleachdaidhean aca.
