Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad a’ Cheangail Eadar Fad a’ Bhogha agus Farsaingeachd na Roinne
Ann an leasanan geoimeatraidh, gu h-àraidh ann an sgrùdadh chearcaill, bidh sinn tric a’ tighinn tarsainn air bun-bheachdan fad arc agus farsaingeachd earrann. Tha an dà bhun-bheachd seo deatamach airson tuigse fhaighinn air diofar iongantasan geoimeatrach a tha a’ toirt a-steach cearcaill. Mìnichidh sinn an dà bhun-bheachd seo an toiseach mus toir sinn seachad eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca.
Fad a’ Bhog
’S e fad a’ bhogha an t-astar air feadh a’ bhogha eadar dà phuing air cearcall. Gus fad a’ bhogha ann an cearcall obrachadh a-mach, mar as trice bidh feum againn air radius a’ chearcaill (r) agus a’ cheàrn mheadhanach (θ) tro am bi am bogha a’ dol ann an radianan. Faodar am foirmle airson fad a’ bhogha (s) obrachadh a-mach a sgrìobhadh mar a leanas:
[s = r × heta]
Ma tha an ceàrn meadhanach air a thoirt seachad ann an ceumannan, feumaidh sinn an toiseach a thionndadh gu radianan le:
[\theta_{radian} = \theta_{ceum} \times \frac{\pi}{180} \]
Raon na Roinne
Is e earrann pàirt de chearcall air a chuartachadh le dà radius agus an arc eatorra. Gus farsaingeachd earrann obrachadh a-mach, bidh sinn a’ cleachdadh radius a’ chearcaill (r) agus a’ cheàrn mheadhanach (θ). Is e am foirmle airson farsaingeachd earrann (A) obrachadh a-mach:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
Coltach ri fad a’ bhogha, ma thèid a’ cheàrn mheadhanach a thomhas ann an ceumannan, feumaidh sinn an toiseach a thionndadh gu radianan.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Gus bun-bheachd fad a’ bhogha agus farsaingeachd na roinne a shoilleireachadh, leig dhuinn ath-sgrùdadh a dhèanamh air na ceistean eisimpleir a leanas agus na còmhraidhean mun deidhinn.
Ceist 1:
Ma tha cearcall agad le radius de 10 cm agus ceàrn meadhanach de 60 ceum, obraich a-mach fad a’ bhogha agus farsaingeachd na roinne a tha air a chruthachadh leis a’ cheàrn.
Deasbad:
1. A’ tomhas fad a’ bhogha:
– An toiseach, bidh sinn ag atharrachadh a’ cheàirn bho cheumannan gu radianan:
[θ = 60 uair π/180 = π/3, radian]
– A’ cleachdadh foirmle fad a’ bhogha:
[s = r × heta]
[s = 10 × π}{3]
[s = \frac{10\pi}{3} \, \text{cm} \]
2. A’ tomhas farsaingeachd roinn:
– A’ cleachdadh na foirmle airson farsaingeachd roinne:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
[A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} \]
[A = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\pi}{3} \]
[A = \frac{100\pi}{6} \]
[A = \frac{50\pi}{3} \, \text{cm}^2 \]
Mar sin, is e 10µm fad a’ bhogha, agus is e 50µm² farsaingeachd na roinne.
Ceist 2:
Tha radius 7 cm aig cearcall agus ceàrn meadhanach air a chumail suas le bogha de 2 radian. Obraich a-mach fad a’ bhogha agus farsaingeachd earrann a’ chearcaill.
Deasbad:
1. A’ tomhas fad a’ bhogha:
– Tha an ceàrn meadhanach ann an radianan mu thràth, agus mar sin is urrainn dhuinn foirmle fad a’ bhogha a chleachdadh gu dìreach:
[s = r × heta]
[s = 7 uair 2]
[s = 14, cm]
2. A’ tomhas farsaingeachd roinn:
– A’ cleachdadh na foirmle airson farsaingeachd roinne:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
[A = \frac{1}{2} \times 7^2 \times 2 \]
[A = \frac{1}{2} \times 49 \times 2 \]
[A = 49, cm²]
Mar sin, tha fad a’ bhogha 14 cm, agus tha farsaingeachd na roinne 49 cm².
Ceist 3:
Tha earrann aig cearcall le radius de 12 cm agus fad a bhogha 15\(\pi\) cm. Obraich a-mach ceàrn meadhanach ann an ceumannan agus farsaingeachd na h-earrainn.
Deasbad:
1. A’ dearbhadh a’ Cheàirn Mheadhanaich:
– A’ cleachdadh foirmle fad a’ bhogha gus an ceàrn meadhanach a lorg:
[s = r × heta]
[15 π = 12 uair θ]
[θ = \frac{15π}{12}]
[\theta = \frac{5\pi}{4} \, \text{radian} \]
– Tionndaidh ceàrn meadhanach gu ceumannan:
[\theta = \frac{5π}{4} \times \frac{180π}{π}]
[θ = 5 x 180}{4]
[\theta = 225 \, \text{ceuman} \]
2. A’ tomhas farsaingeachd roinn:
– A’ cleachdadh na foirmle airson farsaingeachd roinne:
[A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
[A = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5π}{4} \]
[A = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5π}{4} \]
[A = 72 uair 5 π}{4}]
[A = 90π, cm²]
Mar sin, tha ceàrn meadhanach na roinne 225 ceum, agus tha farsaingeachd na roinne 90\(\pi\) cm².
Co-dhùnadh
Tha tuigse mhionaideach air prionnsabalan bunaiteach chearcaill agus cleachdadh ceart fhoirmlean an lùib tuigse air a’ cheangal eadar fad bogha agus farsaingeachd roinne. Tro na duilgheadasan cleachdaidh gu h-àrd, chì sinn cho cudromach sa tha e tionndadh ceàrnan a mhaighstireachd agus foirmlean a chur an sàs gu dìreach ann an co-theacsa geoimeatraidh chruinn. Bidh gach ceum anns a’ chòmhradh mu na duilgheadasan gar cuideachadh le bhith a’ tuigsinn mar a tha na foirmlean ag obair agus mar a chuireas sinn an sàs iad gu h-èifeachdach.
Le bhith a’ leantainn oirnn a’ cleachdadh agus a’ tuigsinn nam bunaitean a chaidh a mhìneachadh, bidh sinn nas sgileile ann a bhith a’ fuasgladh cheistean a tha a’ buntainn ri fad bogha agus farsaingeachd roinne, agus bidh seo glè fheumail ann an grunn thagraidhean matamataigeach agus saidheansail eile.
