Eisimpleir de Cheist Deasbaid air Sgaoileadh Àbhaisteach
’S e an sgaoileadh àbhaisteach, ris an canar cuideachd an sgaoileadh Gaussian, an sgaoileadh coltachd as cumanta a thathas a’ cleachdadh ann an staitistig. Tha cumadh clag co-chothromach aig an sgaoileadh seo, a’ sealltainn gu bheil an dàta air a chur air dòigh timcheall air a’ mheadhan agus gu bheil coltachd luachan fìor (luachan fada bhon mheadhan) ìosal.
San artaigil seo, bruidhnidh sinn air diofar eisimpleirean de dhuilgheadasan a tha a’ buntainn ris an t-sgaoileadh àbhaisteach agus mar a dh’fhuasglas sinn iad. Tòisichidh sinn le bhith a’ toirt a-steach beagan bhun-bheachdan agus an uairsin gluaisidh sinn air adhart gu eisimpleirean nas iom-fhillte.
Bun-bheachdan an t-Sgaoilidh Àbhaisteach
Is e sgaoileadh leantainneach a th’ anns an sgaoileadh àbhaisteach le dà pharaimeatair: a’ chuibheasachd agus an claonadh àbhaisteach (SD). Tha a’ chuibheasachd a’ dearbhadh meadhan an t-sgaoilidh, agus tha an claonadh àbhaisteach a’ dearbhadh leud an t-sgaoilidh.
Feartan cudromach an t-sgaoilidh àbhaisteach:
1. Co-chothromachd: Tha an sgaoileadh àbhaisteach co-chothromach mun mheadhan.
2. Riaghailt Empirigeach (Riaghailt Empirigeach):
– Tha mu 68% den dàta taobh a-staigh aon chlaonadh àbhaisteach bhon mheadhan.
– Tha timcheall air 95% den dàta taobh a-staigh dà chlaonadh àbhaisteach bhon mheadhan.
– Tha timcheall air 99.7% den dàta taobh a-staigh trì claonaidhean àbhaisteach bhon mheadhan.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1: A’ tomhas an Sgòr-Z
Ceist: Tha sgòr cuibheasach de 70 aig deuchainn le claonadh àbhaisteach de 10. Gheibh oileanach sgòr de 80. Dè an sgòr-Z a th’ aig an oileanach?
Fuasgladh:
'S e tomhas a th' anns an sgòr-Z air cia mheud claonadh àbhaisteach a tha luach bhon mheadhan.
Foirmle sgòr-Z:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Càite:
– Is e \(X \) an luach a chaidh fhaicinn.
– ’S e \( \mu \) an cuibheasachd.
– Is e \( \sigma \) an claonadh àbhaisteach.
Tha fios air:
– \(X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Cleachdadh na foirmle:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Mar sin, is e 1 sgòr-Z an oileanach, a tha a’ ciallachadh gu bheil sgòr de 80 aon chlaonadh àbhaisteach os cionn a’ chuibheasachd.
Eisimpleir Ceist 2: Cothrom Luach Sònraichte
Ceist: Ann an sgaoileadh àbhaisteach le cuibheasachd de 100 agus claonadh àbhaisteach de 15, dè an coltachd luach fo 85 a lorg?
Fuasgladh:
Na ceumannan:
1. Obraich a-mach an sgòr-Z airson an luach \( X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Cleachd clàr-Z no àireamhair staitistigeil gus an coltachd a lorg a tha co-fhreagarrach ri sgòr-Z de -1. Ann an clàr-Z, tha coltachd sgòr-Z de -1 timcheall air 0.1587.
Mar sin, tha coltachd luach fo 85 a lorg 0.1587 no 15.87%.
Eisimpleir Ceist 3: A’ cleachdadh Riaghailtean Empirigeach
Ceist: Tha fios againn gu bheil sgaoileadh sgòran deuchainn matamataig ann an sgoiltean a’ leantainn sgaoileadh àbhaisteach le cuibheasachd de 75 agus claonadh àbhaisteach de 8. Dè an co-roinn de dh’ oileanaich a fhuair sgòran eadar 67 agus 83?
Fuasgladh:
Ceumannan:
1. Obraich a-mach an sgòr-Z airson nan luachan 67 agus 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. A rèir riaghailtean empirigeach, tha luachan eadar -1 SD agus +1 SD bhon chuibheasachd a’ còmhdach mu 68% den t-sluagh.
Mar sin, bha an co-roinn de dh’oileanaich a fhuair sgòran eadar 67 agus 83 mu 68%.
Eisimpleir Ceist 4: A’ tomhas luachan bho cheudadan
Ceist: Ma tha àirde chuibheasach fhireannaich inbheach ann an dùthaich 175 cm le claonadh àbhaisteach de 7 cm, dè an àirde a tha aig an 90mh peirceintil?
Fuasgladh:
Ceumannan:
1. Lorg an sgòr-Z a tha co-fhreagarrach ris an 90mh peirceintile. Stèidhichte air clàr-Z, tha an sgòr-Z as fhaisge air 0.9000 timcheall air 1.28.
2. Cleachd am foirmle gus luach \( X \) obrachadh a-mach:
[X = µm + Z × sigma]
[X = 175 + 1.28 × 7]
[X = 175 + 8.96]
\[ X = 183.96 \]
Mar sin, tha an àirde anns an 90mh percentile timcheall air 183.96 cm.
Eisimpleir Ceist 5: Cothrom Eadar-ama Sònraichte
Ceist: A’ gabhail ris gu bheil sgaoileadh cuideaman ùr-bhreith a’ leantainn sgaoileadh àbhaisteach le cuibheasachd de 3.5 kg agus claonadh àbhaisteach de 0.5 kg, dè an coltachd gum bi cuideam pàisde eadar 3 kg agus 4 kg?
Fuasgladh:
Ceumannan:
1. Obraich a-mach an sgòr-Z airson nan luachan 3 kg agus 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Tha coltachd sgòr-Z eadar -1 agus 1 stèidhichte air clàr Z timcheall air 0.6826 no 68.26%.
Mar sin, tha coltachd pàisde le cuideam eadar 3kg agus 4kg mu 68.26%.
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd bunaiteach ann an staitistig a th’ anns an sgaoileadh àbhaisteach a tha deatamach agus aig a bheil mòran thagraidhean san t-saoghal fhìor. San artaigil seo, tha sinn air bun-bheachdan an t-sgaoilidh àbhaisteach a mhìneachadh agus grunn eisimpleirean fhuasgladh gus ar tuigse a dhoimhneachadh.
Chan e a-mhàin gu bheil tuigse air an sgaoileadh àbhaisteach cudromach airson staitistig ach cuideachd airson diofar raointean practaigeach leithid eòlas-inntinn, eaconamas agus saidheansan sòisealta eile. Le cleachdadh gu leòr, faodaidh fuasgladh dhuilgheadasan sgaoilidh àbhaisteach a bhith nas fhasa a thuigsinn agus cuideachadh le co-dhùnaidhean stèidhichte air dàta.
