Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbad: Mìneachadh air Iomlan Neo-chinnteach
’S e bun-bheachd ann an àireamhachd a th’ anns an integral neo-chinnteach, air a chleachdadh gus an t-antiderivative de ghnìomh sònraichte a lorg. Canar antidifferentiation ris cuideachd. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de integralan neo-chinnteach, còmhla ri mìneachaidhean, gus tuigse nas fheàrr fhaighinn air a’ bhun-bheachd seo.
A’ Tuigsinn Iomlaidean Neo-chinnteach
’S e an t-iomlan neo-chinnteach am pròiseas airson an gnìomh tùsail F(x) a lorg bho thoradh f(x), a tha air a chomharrachadh le:
[\int f(x) \, dx = F(x) + C \]
far a bheil \(C \) na sheasmhach iomlan. Tha an cunbhalach seo ag èirigh leis gu bheil an t-atharrachadh de sheasmhachd co-ionann ri neoni, agus mar sin anns a’ phròiseas an-aghaidh eadar-dhealachaidh, feumaidh sinn beachdachadh air a’ chomas gum bi cunbhalachd mar sin ann.
Foirmle Bhunasach airson Iomlaidean Neo-chinnteach
Seo cuid de na foirmlean bunaiteach a thathas a’ cleachdadh gu tric ann an integralan neo-chinnteach:
1. [\int k\, dx = kx + C\]
far a bheil \(k \) na sheasmhach.
2. [\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
airson (n = 1).
3. [\int e^x\, dx = e^x + C\]
4. [\int a^x\, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\]
far a bheil (a) na àireamh fhìor dheimhinneach agus (a) ≥ 1.
5. [\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C\]
6. [int sin x, dx = -cos x + C]
7. [int cos x, dx = sin x + C]
Eisimpleirean de Dhuilgheadasan Iomlan Neo-chinnteach agus na Deasbadan mu na Dhuilgheadasan sin
Eisimpleir 1
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan neo-chinnteach de \( f(x) = 3x^2 \).
Deasbad:
Gus an t-iomlan seo fhuasgladh, bidh sinn a’ cleachdadh foirmle bunaiteach an t-iomlan airson gnìomhan den chruth \( x^n \):
[\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
Anns a’ chùis seo, tha againn \(f(x) = 3x^2 \), far a bheil \(k = 3 \) agus \(n = 2 \). An uairsin:
[\int 3x^2\, dx = 3\int x^2\, dx = 3 (\frac{x^{3}}{3} \right) + C = x^3 + C\]
Mar sin, ((int 3x^2, dx = x^3 + C).
Eisimpleir 2
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan neo-chinnteach de \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Deasbad:
Is e seo an t-iomlan de \( \frac{1}{x} \) stèidhichte air a’ fhoirmle bhunasach:
[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C\]
Mar sin, ((\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \).
Eisimpleir 3
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan neo-chinnteach de \( f(x) = e^x \).
Deasbad:
Is e seo an t-iomlan de \( e^x \) stèidhichte air a’ fhoirmle bhunasach:
[\int e^x\, dx = e^x + C\]
Mar sin, ((int e^x, dx = e^x + C).
Eisimpleir 4
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan neo-chinnteach de (sin x).
Deasbad:
Is e seo an t-iomlan de \( \sin x \) stèidhichte air a’ fhoirmle bhunasach:
[int sin x, dx = -cos x + C]
Mar sin, (int sin x, dx = -cos x + C).
Eisimpleir 5
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan neo-chinnteach de \( \cos x \).
Deasbad:
Is e seo an t-iomlan de \( \cos x \) stèidhichte air a’ fhoirmle bhunasach:
[int cos x, dx = sin x + C]
Mar sin, (int cos x, dx = sin x + C).
Eisimpleir 6
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan neo-chinnteach de \( 5x^{-3} \).
Deasbad:
Gus an t-iomlan seo fhuasgladh, bidh sinn a’ cleachdadh foirmle bunaiteach an t-iomlan airson gnìomhan den chruth \( x^n \):
[\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
Anns a’ chùis seo, tha againn (f(x) = 5x^{-3), far a bheil (k = 5) agus (n = -3). An uairsin:
[\int 5x^{-3} \, dx = 5 \int x^{-3} \, dx = 5 \left( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \right) + C = 5 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = -\frac{5}{2} x^{-2} + C \]
Mar sin, ((5x^{-3}, dx = -\frac{5}{2}x^{-2} + C)).
Eisimpleir 7
Ceist:
Obraich a-mach an t-iomlan neo-chinnteach de \( 4e^{2x} \).
Deasbad:
Gus an t-iomlan seo fhuasgladh, feumaidh sinn an stuth u a chleachdadh. Suidhicheamaid u = 2x gus am bi du = 2dx), no dx = du2).
[\int 4e^{2x} \, dx = 4 \int e^{u} \, \frac{du}{2} = 2 \int e^{u} \, du \]
A-nis, is e integral \( e^u \) \( e^u \):
\[ 2 \int e^u \, du = 2e^u + C \]
Air ais chun na caochladairean tùsail:
[2e^u + C = 2e^{2x} + C]
Mar sin, ((4e^{2x}, dx = 2e^{2x} + C).
Cleachdadh Iomlaidean Neo-chinnteach
Tha iomadh cleachdadh aig iomlaidean neo-chinnteach ann an saidheans agus innleadaireachd. Mar eisimpleir, ann am fiosaig, thathas a’ cleachdadh iomlaidean neo-chinnteach gus an astar a shiubhail nì a lorg nuair a tha fios air an astar aige mar ghnìomh ùine. Ann an eaconamas, faodar iomlaidean neo-chinnteach a chleachdadh gus cosgais no prothaid iomlan a lorg nuair a tha fios air an ìre atharrachaidh air cosgais no prothaid gach aonad.
Co-dhùnadh
’S e bun-bheachd chudromach ann an àireamhachd a th’ anns an integral neo-chinnteach, air a chleachdadh gus frith-thoraidhean ghnìomhan a lorg. Tha tuigse air na diofar fhoirmlean bunaiteach integral deatamach ann a bhith a’ fuasgladh cheistean anns a bheil integralan neo-chinnteach. Le cleachdadh gu leòr a’ cleachdadh eisimpleirean leithid an fheadhainn a chaidh a dheasbad gu h-àrd, faodaidh neach maighstireachd a dhèanamh air dòigh-obrach integralan neo-chinnteach. Chan e a-mhàin gu bheil luach teòiridheach aig bun-bheachd integralan neo-chinnteach ach cuideachd luach practaigeach ann an diofar raointean saidheans.
