Krúsfermannichfâldigingsmateriaal mei ienheidsvektorkomponinten
Wy kinne it krúsprodukt direkt berekkenje as wy de komponinten fan 'e fektoren kenne. De proseduere is itselde as foar it puntprodukt . Earst fermannichfâldigje wy de ienheidsfektoren i , j en k . It fektorprodukt tusken deselde ienheidsfektoren is nul.
i x i = j x j = k x k = 0
Troch te ferwizen nei de earder ôflaatte fektorfermannichfâldigingsfergeliking (A x B = AB sûnder θ) en de anty-kommutative eigenskip fan fektorfermannichfâldiging (A x B = - B x A), dan krije wy:
ixj = -jxi = k
j x k = -k x j = i
kxi = – ixk = j
No uterje wy fektoren A en B yn termen fan harren komponinten, ûntlede har produkt en brûke it produkt fan ienheidsfektoren.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Omdat i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, dus:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
Ay B x ( -k ) + Ay B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( - i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
As C = A x B , dan binne de komponinten fan C as folget:
Cx = Ay Bz – Az By
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
