Materiaal foar fermannichfâldiging fan punten mei ienheidsvektorkomponinten
Wy kinne it skalêre produkt direkt berekkenje as wy de x-, y- en z-komponinten fan fektoren A en B (de bekende fektoren) kenne.
Om op dizze manier in puntprodukt út te fieren, fiere wy earst in puntprodukt út fan 'e ienheidsfektoren, dêrnei uterje wy fektoren A en B yn harren komponinten, ûntlede it produkt en brûke wy it produkt fan 'e ienheidsfektoren.
De ienheidsfektoren i , j en k steane loodrecht op elkoar, wat de berekkeningen makliker makket. Mei de hjirboppe ôflaatte skalêre fermannichfâldigingsfergeliking ( AB = AB cos theta ) krije wy:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
No uterje wy fektoren A en B yn termen fan harren komponinten, ûntlede har produkt en brûke it produkt fan ienheidsfektoren.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Omdat i . i = j . j = k . k = 1 en i . j = i . k = j . k = 0, dan:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y By (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Op basis fan 'e resultaten fan dizze berekkening kin konkludearre wurde dat it skalêre produkt of puntprodukt fan twa fektoren de som is fan 'e produkten fan har ferlykbere komponinten.
Foarbyldfraach 1:
Grutte fektor A dan B respektivelik 5 en 4, lykas te sjen is yn 'e ôfbylding hjirûnder. De foarme hoeke is 90oTel it puntprodukt beide fektoren.
Diskusje
Foardat wy it puntprodukt fan fektoren A en B berekkenje, moatte wy earst de komponinten fan 'e twadde fektor witte.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Fektor A hat allinnich fektorkomponinten op 'e x-as en fektor B hat allinnich fektorkomponinten op 'e y-as. De z-komponint is nul, om't fektoren A en B yn it xy-flak lizze.
No berekkenje wy it puntprodukt tusken fektoren A en B mei de puntproduktfergeliking mei komponintfektoren:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Litte wy it fergelykje mei de earste metoade
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
It resultaat is itselde.
Foarbyldfraach 2:
Grutte fektor A dan B binne respektivelik 5 en 4, lykas te sjen is yn 'e ôfbylding hjirûnder. Berekkene puntprodukt beide fektoren, as de foarme hoeke 30 iso
Diskusje
Foardat wy it puntprodukt fan fektoren A en B berekkenje, moatte wy earst de komponinten fan 'e twadde fektor witte.
De z-komponint is nul, om't de fektoren A en B yn it xy-flak lizze.
No berekkenje wy it puntprodukt tusken fektoren A en B mei de puntproduktfergeliking mei komponintfektoren:
Fergelykje mei de earste metoade.
