Matériel de multiplication croisée utilisant des composantes de vecteur unitaire
On peut calculer directement le produit vectoriel si l'on connaît les composantes des vecteurs. La procédure est identique à celle du produit scalaire . On multiplie d'abord les vecteurs unitaires i , j et k . Le produit vectoriel de vecteurs unitaires de même valeur est nul.
i x i = j x j = k x k = 0
En se référant à l'équation de multiplication vectorielle précédemment dérivée (A x B = AB sans θ) et la propriété anti-commutative de la multiplication vectorielle (A x B = - B x A), alors nous obtenons :
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Nous exprimons maintenant les vecteurs A et B en fonction de leurs composantes, décomposons leur produit et utilisons le produit des vecteurs unitaires.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, donc :
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Si C = A x B , alors les composantes de C sont les suivantes :
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
