Matériel de multiplication croisée utilisant des composants Vecteur unitaire
On peut calculer directement le produit vectoriel si l'on connaît les composantes des vecteurs. L'ordre est le même que produit scalaireTout d'abord, nous effectuons la multiplication entre les vecteurs unitaires. i, j dan kLe produit vectoriel entre vecteurs unitaires identiques est nul.
i x i = j x j = k x k = 0
En se référant à l'équation de multiplication vectorielle précédemment dérivée (A x B = AB sans θ) et la propriété anti-commutative de multiplication vectorielle (A x B = - B x A), alors nous obtenons :
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = -i x k = j
Nous énonçons maintenant le vecteur A dan B en ses composantes, en décomposant sa multiplication et en utilisant la multiplication de ses vecteurs unitaires.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, donc :
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Si C = A x B puis les composants de C sont les suivantes :
Cx = AyBz - AzBy
Cy = AzBx - Ax Bz
Cz = AxBy - AyBx
