Vektori – ongelmat ja ratkaisut
Vektori ja skalaari
1. Seuraavista vaihtoehdoista, jotka ovat skalaari-vektoriparit…
A. Voima – kiihtyvyys
B. Paine – voima
C. Siirtymä – nopeus
D. Sähkövirta – paine
ratkaisu:
Voima = vektori, kiihtyvyys = vektori
Paine = skalaari, voima = vektori
Siirtymä = vektori, nopeus = skalaari
Sähkövirta = skalaari, paine = skalaari
Oikea vastaus on B.
2.
Oikea vastaus näkyy numerona…
A. 1 ja 4
B. 1 ja 2
C. 2 ja 3
D. 3 ja 4
ratkaisu:
Nopeus = skalaari
Siirtymä = vektori
Paino = vektori
Kiihtyvyys = vektori
Oikea vastaus on C.
Vektorien komponentit
3. Kahdella vektorilla F1 = 20 N ja F2 = 30 N on alla olevan kuvan mukainen suunta. Määritä x-akselin ja y-akselin vektorien osien resultantti.
A. 5√3 N ja -25 N
B. -5√3 N ja 25 N
C. 25 N ja 5√3 N
D. 30 N ja 25√3 N
Tunnettu:
F1 = 20 Newtonia
Kulma F1 :n ja x-akselin välillä = 30 °
F2 = 30 Newtonia
F2 :n ja x-akselin välinen kulma = 30 °
Etsitään: F x ja F y
ratkaisu:
F 1x = F 1 cos 30 0 = (20)(0.5√3) = 10√3 Newtonia (plusmerkki, koska osoittaa +x-akselille)
F 1y = F 1 sin 30 0 = (20)(0.5) = 10 Newtonia (plusmerkki, koska piste on +y-akselilla)
F 2x = F 2 cos 30 o = (30)(0.5√3) = -15√3 Newtonia (miinusmerkki, koska osoittaa x-akselille)
F 2y = F 2 sin 30 0 = (30)(0.5) = 15 Newtonia (plusmerkki, koska osoittaa +y-akselille)
x-komponentin resultantti:
F x = F 1x + F 2x = 10√3 N – 15√3 N = -5√3 Newtonia
y-komponentin resultantti:
Fy = F1y + F2y = 10⁻⁶N + 15⁶N = 25 Newtonia
Oikea vastaus on B.
Kahden vektorin resultantti
4. Kaksi lasta A ja B työntävät palikoita. Jos A työntää palikoita etelään 400 N voimalla ja samaan aikaan B työntää palikoita itään 300 N voimalla, niin määritä voimien A ja B resultantti.
A. 100 pohjoista leveyttä etelään
B. 100 pohjoista leveyttä itään
Noin 500 pohjoista leveyttä kaakkoon
D. 700 N kaakkoon
Tunnettu:
U = pohjoinen, T = itä, S = etelä, B = länsi
TL = koillinen, TG = kaakko, BD = lounaaseen, BL = luoteeseen
A = 400 Newtonia etelään
B = 300 Newtonia itään
Etsitään: nettovoiman (R) suuruus ja suunta
ratkaisu:
Oikea vastaus on C.
Siirtymävektorin resultantti
5. Joku ajaa moottoripyörällä kotoa 6 km pohjoiseen ja sitten 8 km itään. Määritä henkilön lopullinen sijainti lähtöpisteestä.
14 km koilliseen
E. 14 km lounaaseen
Noin 10 km koilliseen
10 km luoteeseen
Tunnettu:
Halutaan: syntyvän siirtymän suuruus ja suunta
ratkaisu:
Oikea vastaus on C.
6.
Yllä olevan kuvan perusteella, jos yksi neliö vastaa yhtä kilometriä, niin mikä on kokonaissiirtymä?
ratkaisu:
Etäisyys = A + B + C = 6 + 6 + 2 = 14 km
Uppouma = R = 12 km
7. Auto kulkee pisteestä A pisteeseen B 30 km pohjoiseen, sitten 60 km itään ja sitten 110 km etelään. Määritä auton uppouma pisteestä A pisteeseen D.
ratkaisu:
AA' = 60 km
A'D = 110 km – 30 km = 80 km
8. Auto kulkee kaupungista A kaupunkiin B 100 km pohjoiseen, sitten kaupunkiin C 60 km itään ja sitten kaupunkiin D 20 km etelään. Määritä auton uppouma.
ratkaisu:
D'D = 60 km
AD' = 100 km – 20 km = 80 km
- Mikä on vektori?
- Vastaus: Vektori on suure, jolla on sekä suuruus (koko) että suunta. Esimerkkejä ovat nopeus, voima ja kiihtyvyys.
- Miten vektori eroaa skalaarista?
- Vastaus: Skalaarilla on vain suuruus, kun taas vektorilla on sekä suuruus että suunta. Esimerkiksi lämpötila on skalaari, koska sillä on arvo, mutta ei suuntaa, kun taas nopeus on vektori, koska se ilmaisee nopeuden (suuruuden) tiettyyn suuntaan.
- Miten vektori voidaan esittää graafisesti?
- Vastaus: Vektori voidaan esittää graafisesti nuolella. Nuolen pituus kuvaa vektorin suuruutta ja nuolen suunta osoittaa vektorin suunnan.
- Mikä on vektorin hännän ja pään merkitys?
- Vastaus: Vektorin häntä on sen lähtöpiste ja kärki sen päätepiste. Vektorien yhteenlaskun kaltaisia toimintoja suoritettaessa toisen vektorin häntä sijoitetaan toisen vektorin kärkeen.
- Miten vektorit lasketaan yhteen?
- Vastaus: Vektorit lisätään pää-häntä-menetelmällä. Toisen vektorin häntä sijoitetaan ensimmäisen vektorin kärkeen. Tuloksena oleva vektori piirretään sitten ensimmäisen vektorin hännästä toisen vektorin kärkeen.
- Mitä eroa on yksikkövektorilla ja nollavektorilla?
- Vastaus: Yksikkövektorin suuruus on yksi ja se osoittaa tiettyyn suuntaan. Sitä käytetään esittämään vektorin suuntaa sen suuruudesta riippumatta. Nollavektorilla ei ole suuruutta eikä tiettyä suuntaa.
- Miten vektori voidaan kertoa skalaarilla?
- Vastaus: Vektorin kertominen skalaarilla muuttaa sen suuruutta, mutta ei sen suuntaa. Jos skalaari on positiivinen, suunta pysyy samana; jos negatiivinen, suunta kääntyy.
- Mitä tarkoittaa, että kaksi vektoria on ortogonaalisia tai kohtisuorassa toisiinsa nähden?
- Vastaus: Kaksi vektoria ovat ortogonaalisia eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden välinen kulma on 90 astetta. Niiden pistetulo on nolla.
- Miten kahden vektorin resultantti määritetään?
- Vastaus: Resultantti on kahden vektorin summa. Graafisesti, kun vektorit esitetään nuolilla, resultantin voi löytää sijoittamalla toisen vektorin häntä ensimmäisen kärkeen ja piirtämällä uuden nuolen (resultantin) ensimmäisen vektorin hännästä toisen kärkeen.
- Jos vektori osoittaa suoraan itään 10 yksikön kirkkausasteella, miten kuvailisit sen vastakkaista kuvaa?
- Vastaus: Tämän vektorin vastakkaisella suunnalla olisi sama suuruus (10 yksikköä), mutta se osoittaisi vastakkaiseen suuntaan eli suoraan länteen.
