Torricellin lause – ongelmat ja ratkaisut

Torricellin lause – ongelmat ja ratkaisut

1. Putki, jonka korkeus on 100 cm ja joka on täytetty vedellä. Reikä Q sijaitsee 10 cm maanpinnan yläpuolella. Mikä on vaakasuora etäisyys (x)?

Tunnettu:

Reiän ja veden pinnan välinen etäisyys (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Painovoiman aiheuttama kiihtyvyys (g) = 10 m/s²

Halusi: x:n etäisyys

ratkaisu:

Veden virtausnopeus reiässä

v = nopeus, g = painovoiman aiheuttama kiihtyvyys, h = reiän ja veden pinnan välinen etäisyys

Veden virtausnopeus reiässä:

Aika ilmassa

Veden liike reiästä maahan on ammuksen liikeHeittoliikkeen ymmärtäminen voidaan selvittää analysoimalla liikkeen vaakasuoraa ja pystysuoraa komponenttia erikseen. X-liike tapahtuu vakionopeudella ja y-liike tapahtuu vakiopainovoiman kiihtyvyydellä.

Tässä ongelmassa pystysuora liike analysoituna vapaapudotusliikkeenä.

Laske aika ilmassa käyttämällä yhtälöä vapaa pudotusliike.

Tunnettu:

Reiän korkeus (y) = 10 cm = 0.1 m

Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²

Etsitään: Aikaväli (t)

ratkaisu:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 tonnia²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 sekuntia

Vaakasuora etäisyys (x):

Tunnettu:

Alkunopeus (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Aika ilmassa (t) = √0.02 sekuntia

Etsitään: Vaakasuora etäisyys (x)

ratkaisu:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metriä

2. Vesisäiliö, jonka korkeus on 1 metri. Pisteessä P on reikä. Mikä on veden virtausnopeus reiässä? Painovoimakiihtyvyys on 10 m/s.².

Tunnettu:

Reiän ja veden pinnan välinen etäisyys (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²

Halusi: Veden virtausnopeus reiässä (v)

ratkaisu:

Veden virtausnopeus reiässä:

3. Suurie-amme sisältää vettä ja siellä on hana, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Jos g = 10 ms^-2, niin veden nopeus hanasta on…

Tunnettu:

Korkeus (k) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metriä

Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²

Halusi: Veden nopeus (v)

ratkaisu:

TOrricellin lauseen mukaan veden nopeus reiän läpi, jonka etäisyys vedenpinnasta on h, on yhtä suuri kuin nopeus vapaa pudotusta vettä h:n korkeudelta.

Veden nopeus lasketaan vapaan pudotuksen liikkeen kaavallaa v_t² = 2 gh

v_t² = 2gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A kylpyamme täynnä vettä ja seinässä on reikä (katso alla oleva kuva). Reiästä tulevan veden nopeus on… (g = 10 ms^-2)

Tunnettu:

Korkeus (k) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metriä

Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²

Etsitään: Sveden nopeus (V)

ratkaisu:

v_t² = 2gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Säiliö, jossa on jopa metrin korkuista vettä (g = 10 ms^-2) ja seinässä on vuotoaukko (katso alla oleva kuva). Reiästä tulevan veden nopeus on...

Tunnettu:

Korkeus (k) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metriä

Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²

Etsitään: Sveden nopeus (V)

ratkaisu:

v_t² = 2gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Mitä Torricellin lause kuvaa?
   • Vastaus: Torricellin lause yhdistää aukosta virtaavan nesteen nopeuden nestepatsaan korkeuteen aukon yläpuolella olettaen tasaisen, viskoosittoman (ei viskositeettia) ja kokoonpuristumattoman virtauksen.
2. Miten Torricellin lause ilmaistaan ​​matemaattisesti?
   • Vastaus: Lause ilmaistaan ​​muodossa v=√2gh​, Jossa $v$ on ulosvirtauksen nopeus, $g$ on painovoiman aiheuttama kiihtyvyys, ja $h$ on nestepatsaan korkeus aukon yläpuolella.
3. Millä oletuksilla Torricellin lause johdettiin?
   • Vastaus: Lause olettaa, että neste on kokoonpuristumatonta ja viskoositonta, virtaus on tasaista eikä nesteeseen lisätä tai siitä oteta ylimääräistä energiaa.
4. Jos säiliössä on kaksi reikää eri syvyyksillä, miten rei'istä tulevien nesteiden nopeudet vertautuvat toisiinsa?
   • Vastaus: Lähempänä pohjaa olevasta reiästä tulevalla nesteellä on suurempi nopeus kuin ylempänä olevasta reiästä tulevalla nesteellä. Tämä johtuu siitä, että paine (ja siten potentiaalienergia) on suurempi syvemmillä syvyyksillä.
5. Miksi ulosvirtauksen nopeus ei riipu säiliön muodosta tai poikkileikkauspinta-alasta?
   • Vastaus: Torricellin lause ottaa huomioon vain potentiaalienergian, joka johtuu nestepatsaan korkeudesta suuaukon yläpuolella. Säiliön muoto ei muuta tätä korkeutta, joten ulosvirtausnopeus pysyy samana.
6. Miten aukosta virtaavan nesteen todellinen nopeus eroaa Torricellin lauseen ennusteesta todellisissa tilanteissa?
   • Vastaus: Todellisissa tilanteissa tekijät, kuten nesteen viskositeetti, turbulenssi ja aukon muoto, voivat vaikuttaa todelliseen nopeuteen, usein tehden siitä pienemmän kuin mitä Torricellin lause ennustaa.
7. Mikä on Torricellin lauseen ja energian säilymislain välinen suhde?
   • Vastaus: Torricellin lause on johdettu mekaanisen energian säilymislaista. Se rinnastaa nesteen pinnan potentiaalienergian suuaukon kineettiseen energiaan.
8. Jos nesteellä täytetyn säiliön aivan yläosassa on aukko, miten Torricellin lause kuvaa ulosvirtausnopeutta?
   • Vastaus: Korkeus $h$ aukon yläpuolella olisi nolla, joten Torricellin lauseen mukaan ulosvirtausnopeus olisi nolla.
9. Miten ilmakehän paine vaikuttaa Torricellin lauseen ennusteisiin?
   • Vastaus: Torricellin lause olettaa, että säiliö on avoin ilmakehään nähden, ja siten ilmakehän paine vaikuttaa tasaisesti nesteen pinnalla. Tämä paine kumoutuu, kun tarkastellaan paine-eroa nesteen korkeuden yli, joten lause pysyy voimassa.
10. Mitä tapahtuu ulosvirtausnopeudelle, kun säiliössä oleva neste pienenee?

• Vastaus: Kun nesteen taso laskee, korkeus $h$ aukon yläpuolella pienenee. Torricellin lauseen mukaan ulosvirtausnopeus pienenisi, kun v=√2gh​.

Nämä kysymykset ja vastaukset tutkivat Torricellin lauseen perusteita, seurauksia ja sovelluksia virtausdynamiikassa.