Hitausmomentti

1. Hiukkasen hitausmomentti

Tarkastellaan pyörivää hiukkasta. Massaiselle m olevalle hiukkaselle annetaan voima F, jonka avulla hiukkanen pyörii akselin O ympäri. Hiukkanen on r:n etäisyydellä pyörimisakselista. Ensin hiukkanen on levossa (v = 0). Liikkumisen jälkeen F:n voiman vaikutuksesta hiukkaset liikkuvat tietyllä nopeudella siten, että hiukkasilla on tangentiaalinen kiihtyvyys. Voiman (F), massan (m) ja hiukkasten tangentiaalisen kiihtyvyyden välinen suhde ilmaistaan ​​yhtälöllä 3:

F = ma _tan (yhtälö 3)

Hiukkaset pyörivät siten, että niillä on kulmakiihtyvyys. Tangentiaalisen kiihtyvyyden ja kulmakiihtyvyyden välinen suhde ilmaistaan ​​yhtälöllä 4:

a _tan = r α (yhtälö 4)

Korvaa yhtälön 3 a yhtälön 4 a:lla:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr2 ⁾ α (yhtälö 5)

r F on hiukkasen voimamomentti ja mr ² on hitausmomentti. Yhtälö 5 esittää pyörivien hiukkasten voimamomentin, hitausmomentin ja kulmakiihtyvyyden välisen suhteen. Yhtälö 5 on Newtonin toisen lain yhtälö pyöriville hiukkasille.

Hiukkasen hitausmomentti on hiukkasen massan (m) ja hiukkasten välisen etäisyyden neliön ( ^r2 ) tulo pyörimisakselista .

I = mr2 ⁽ yhtälö 6)

I = hiukkasen hitausmomentti, m = hiukkasen massa, r = hiukkasen ja pyörimisakselin välinen etäisyys. Yhtälöä 6 käytetään hiukkasen hitausmomentin määrittämiseen.

3.2 Hiukkasen hitausmomentin esimerkkiongelmia

Näytötehtävä 1.

2 kg:n massainen hiukkanen sidottiin 0.5 metriä pitkään köyteen ja pyöritettiin. Mikä on hiukkasten hitausmomentti pyörimisen aikana?

Ratkaisu:

Minä = Herra ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Näytötehtävä 2.

Kaksi hiukkasta, joiden massat ovat 2 kg ja 4 kg, on yhdistetty kevyellä langalla, jonka pituus on 2 metriä. Älä ota lankojen massaa huomioon. Määritä kahden hiukkasen hitausmomentti, jos:

a) Pyörimisakseli sijaitsee kahden hiukkasen välissä

Ratkaisu:

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

Minä = (2)(12) + (4)(12)

Minä = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Pyörimisakseli on 0.5 metrin etäisyydellä hiukkasesta, jonka massa on 2 kg.

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

Minä = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

Minä = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Minä = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Pyörimisakseli on 0.5 metrin etäisyydellä hiukkasesta, jonka massa on 4 kg.

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

Minä = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

Minä = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Minä = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Yllä olevien laskelmien tulosten perusteella pyörimisakselin sijainti vaikuttaa voimakkaasti hitausmomenttiin. Vaikka muoto ja koko ovat samat pyörimisakselin sijainnin vuoksi, myös hitausmomentti on erilainen.

Pyörimisakselin lähellä olevilla hiukkasilla on pienempi hitausmomentti, kun taas kaukana pyörimisakselista olevilla hiukkasilla on suurempi hitausmomentti. Jos oletamme, että kaksi yllä olevaa hiukkasta ovat jäykkiä kappaleita, niin kukin hiukkanen on lähellä pyörimisakselia.

on hitausmomentti pienempi kuin pyörimisakselista kauempana olevan hiukkasen hitausmomentti.

3.3 Homogeenisen jäykän kappaleen hitausmomentti

Jäykät kappaleet koostuvat monista hiukkasista. Jäykän kappaleen hitausmomentti on kappaletta muodostavien hiukkasten hitausmomenttien kokonaismäärä.

^{I =} Σhr2

Minä = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Jäykän kappaleen hitausmomentin määrittämiseksi meidän on tarkasteltava kappaletta sen pyöriessä, koska pyörimisakselin sijainti vaikuttaa kappaleen hitausmomenttiin. Kunkin hiukkasen hitausmomentti (I) riippuu myös hiukkasen massasta (m) ja hiukkasen etäisyyden neliöstä (r2 ⁾ pyörimisakselista. Kaikkien kappaletta muodostavien hiukkasten massa on kappaleen massa.

Ongelmana on, että kunkin hiukkasen etäisyys pyörimisakselista vaihtelee.

Tarkastele ohuen renkaan, jonka sormien pituus on R ja massa M, hitausmomentin pienenemistä kaavassa.

Jos pyörimisakseli sijaitsee renkaan keskellä, kaikki ohuen renkaan hiukkaset sijaitsevat pyörimisakselista. Ohuen renkaan hitausmomentti on yhtä suuri kuin kaikkien hiukkasten hitausmomentti:

I = Σ mr²

Minä = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Kaikkien hiukkasten massa = ohuen renkaan massa (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Ohuen renkaan jokainen hiukkanen on r-etäisyydellä pyörimisakselista siten, että _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Ohuen renkaan hitausmomentin yhtälö:

I = MR ²

I = ohuen renkaan hitausmomentti, M = ohuen renkaan massa, R = ohuen renkaan säde.

Entä jos pyörimisakseli ei sijaitse renkaan keskellä? Jos pyörimisakseli ei sijaitse renkaan keskellä, ohuen renkaan hitausmomentin kaavaa ei voida johtaa yllä olevalla menetelmällä,

koska jokaisen hiukkasen etäisyys pyörimisakselista on erilainen. Hitausmomentin kaavan johtamista tällaiseen ongelmaan ei käsitellä tässä aiheessa.

Joidenkin jäykkien kappaleiden hitausmomentin kaava

3.4 Esimerkkiongelma homogeenisen jäykän kappaleen hitausmomentista

Esimerkkitehtävä 1:

Tankosylinterin AB massa on 3 kg, kun sitä kierretään pisteen B läpi.

hitausmomentti on 27 kg m² ^. Mikä on hitausmomentti, jos

kierretty C:n läpi?

Ratkaisu:

Ratkaisu:

Homogeenisen kiinteän sauvan hitausmomentin kaava (pyörimisakseli on sauvan keskellä):

I = 1/12 ml ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Homogeenisen kiinteän sauvan hitausmomentin kaava (pyörimisakseli sauvan reunalla):

I = 1/3 ml ²

Minä = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²