Kulmamomentti

Kulmamomentti

Pyörimisliikkeen määrä, joka on lineaarisessa liikkeessä yhtä suuri kuin massa (m), on hitausmomentti ( I). Pyörimisliikkeen määrä, joka on lineaarisessa liikkeessä yhtä suuri kuin nopeus (v), on kulmanopeus (ω). Pyörivällä kappaleella on siis pyörimismomentti, joka voidaan laskea yhtälöllä:

L = Iω

L = pyörimismomentti (kg m² ^/ s), I = hitausmomentti (kg m² ⁾ , ω = kulmanopeus (rad/s)

Kulmamomentin esimerkkiongelmia

Näytötehtävä 1.

0.5 gramman massainen hiukkanen liikkuu ympyrää vakiokulmanopeudella 2 rad/s. Määritä hiukkasen pyörimismäärä, jos hiukkasen kulkuradan säde on 10 cm.

Ratkaisu:

Hiukkasen hitausmomentti:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x 10⁻¹ ^m² ) = 0.5 x ^10⁻¹ kg ^​​m²

Hiukkasen kulmanopeus:

ω = 2 rad/s

Hiukkasen pyörimismäärä:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg ​​m² ^/ s

Impulssimomentin säilymisen laki

Liikemäärän säilymislaki sanoo, että jos jäykkään kappaleeseen pyöriessään kohdistuva resultanttivoimamomentti on nolla, niin jäykän kappaleen pyörimisliikemäärä on aina vakio. Liikemäärän säilymislaki voidaan johtaa matemaattisesti muokkaamalla Newtonin liikemäärän toisen lain yhtälöä. Tässä on Newtonin liikemäärän toisen lain yhtälö:

Jos resultanttivoimamomentti on nolla, niin yllä oleva yhtälö muuttuu muotoon:

I _t = lopullinen hitausmomentti, I _o = alkuperäinen hitausmomentti, ω _t = lopullinen kulmanopeus, ω _o = alkuperäinen kulmanopeus, L _t = lopullinen pyörimismomentti, L _o = alkuperäinen pyörimismomentti.

Näyteongelmia liikemäärän säilymislaista

Näytötehtävä 1.

Homogeeninen kiinteä lieriömäinen kiekko pyörii aluksi akselinsa ympäri nopeudella 4 rad/s. Kiekon massa ja säde ovat 1 kg ja 0.5 m. Jos levyn yläpuolelle asetetaan rengas, jonka massa ja säde ovat 0.2 kg ja 0.1 m, ja renkaan keskipiste,

juuri kiekon keskipisteen yläpuolella, niin kiekko ja rengas pyörivät yhdessä kulmanopeudella…..

Ratkaisu:

Kiinteän sylinterin hitausmomentti: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Renkaan hitausmomentti: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Alkuperäinen pyörimismomentti (L1 ₎ = Lopullinen pyörimismomentti ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Käsitteellisiä kysymyksiä ja vastauksia

1. Mikä on kulmamomentti?
   Vastaus: Kulmamomentti mittaa kappaleen pyörimisliikettä ottaen huomioon sen massan ja muodon. Se on lineaarisen liikemäärän pyörimismallin vastine.
2. Miten impulssimomentti määritetään matemaattisesti?
   Vastaus: Kulmamomentti (L) määritellään seuraavasti: $L=r\times p$, Jossa $r$ on sijaintivektori pyörimisakselilta käyttöpisteeseen ja $p$ on lineaarinen liikemäärä.
3. Onko pyörimismäärä skalaari- vai vektorisuure?
   Vastaus: Kulmamomentti on vektorisuure.
4. Mikä on SI-järjestelmän kiertomäärän yksikkö?
   Vastaus: SI-järjestelmässä pyörimismomentin yksikkö on kilogrammametriä sekunnissa (kg·m²/s).
5. Miten impulssimomentti säilyy?
   Vastaus: Suljetussa järjestelmässä, jossa ei ole ulkoisia vääntömomentteja, kokonaisliikemäärä pysyy vakiona.
6. Mikä on impulssimomentin säilymisen periaate?
   Vastaus: Periaatteen mukaan suljetun järjestelmän kokonaisliikemäärä pysyy vakiona, ellei siihen vaikuta ulkoinen vääntömomentti.
7. Miten taitoluistelijan spin liittyy pyörimismomenttiin?
   Vastaus: Kun taitoluistelija vetää kätensä ja jalkansa lähelle vartaloaan pyörähdyksen aikana, hänen hitausmomenttinsa pienenee, jolloin hän pyörii nopeammin. Tämä osoittaa pyörimismäärän säilymislain.
8. Mikä on vääntömomentin ja pyörimismomentin välinen suhde?
   Vastaus: Vääntömomentti ($\tau$) on pyörimismäärän muutosnopeus. Matemaattisesti τ=dL/sek​.
9. Voiko kappaleella olla pyörimismäärä ilman kulmanopeutta?
   Vastaus: Ei, jos kappaleella on pyörimismomentti, sillä on kulmanopeus. Pyörimismomentin suuruus ja suunta riippuvat sekä hitausmomentista että kulmanopeudesta.
10. Miten hitausmomentti vaikuttaa pyörimismäärään?
    Vastaus: Kulmamomentti (L) on hitausmomentin (I) ja kulmanopeuden (ω) tulo. US $L=I\omega$, hitausmomentin kasvu tietyllä kulmanopeudella lisää kulmamomenttia.
11. Mitä eroa on spinin ja orbitaalisen impulssimomentin välillä kvanttimekaniikassa?
    Vastaus: Spin-liikemäärä on hiukkasten, kuten elektronien, luontainen ominaisuus, eikä se johdu liikkeestä avaruudessa. Orbitaalinen liikemäärä puolestaan ​​syntyy hiukkasen liikkeestä keskipisteen ympäri.
12. Mikä on impulssimomentin rooli planeettajärjestelmien muodostumisessa?
    Vastaus: Kun molekyylipilvi romahtaa muodostaen tähtiä ja planeettoja, pyörimismäärän säilymislaki saa materiaalin litistymään kiekoksi vastasyntyneen tähden ympärille, josta planeetat voivat muodostua.
13. Miten gyroskooppi säilyttää orientaationsa avaruudessa?
    Vastaus: Pyörivällä gyroskoopilla on pyörimismomentti. Kun ulkoinen vääntömomentti yrittää muuttaa sen suuntaa, gyroskooppi prekessoi eli muuttaa pyörimisakseliaan suuntaan, joka on kohtisuorassa käytettyyn vääntömomenttiin nähden pyörimismomentin säilymislain vuoksi.
14. Mikä aiheuttaa prekession hyrrässä?
    Vastaus: Hyrrissä tapahtuva prekessio johtuu painovoiman aiheuttamasta vääntömomentista, joka vaikuttaa hyrrissä olevan massakeskipisteeseen, joka on siirretty sen kääntöpisteestä. Tämä vääntömomentti johtaa muutokseen hyrrissä olevan pyörimismomentin suunnassa, mikä aiheuttaa sen prekession.
15. Miksi tähdet litistyvät navoistaan?
    Vastaus: Tähtien pyöriessä ne kokevat keskipakovoiman, joka työntää ainetta ulospäin. Tämä vaikutus on voimakkaampi päiväntasaajalla kuin navoilla, mikä johtaa litistyneeseen muotoon.
16. Miten pyörimismäärä liittyy Keplerin toiseen lakiin?
    Vastaus: Keplerin toisen lain mukaan planeetan ja Auringon yhdistävä jana pyyhkäisee yhtä suuret pinta-alat yhtä pitkinä aikaväleinä. Tämä on seurausta pyörimismäärän säilymislaista.
17. Miksi kissa laskeutuu aina jaloilleen kaatuessaan?
    Vastaus: Kissat käyttävät hyväkseen liikemäärän säilymislakia. Kiertämällä kehoaan ja muuttamalla hitausmomenttejaan ilmassa ne voivat suunnata itsensä uudelleen laskeutuakseen jaloilleen rikkomatta liikemäärän säilymislakeja.
18. Miten magneettinen momentti liittyy elektronien pyörimismäärään?
    Vastaus: Elektronin magneettinen momentti syntyy sen spinistä ja rataimpulssimomentista. Magneettinen momentti on verrannollinen elektronin impulssimomenttiin.
19. Mikä on pyörimismäärä napakoordinaatteina?
    Vastaus: Polaarikoordinaateissa, pyörimismomentti $L$ pistemäiselle massalle voidaan ilmaista muodossa $L=mrv$, Jossa $m$ on massa, $r$ on säteittäinen etäisyys ja $v$ on tangentiaalinen nopeus.
20. Mitä suljetun järjestelmän pyörimismäärälle tapahtuu, kun kaksi kappaletta törmäävät?
    Vastaus: Suljetussa järjestelmässä, jossa kaksi kappaletta törmää, kokonaisliikemäärä ennen törmäystä on yhtä suuri kuin kokonaisliikemäärä törmäyksen jälkeen olettaen, ettei järjestelmään vaikuta ulkoisia vääntömomentteja.

Ongelmat ja ratkaisut

1. Tehtävä: Piste, jonka massa on m = 2 kg, liikkuu nopeudella v = 3 m/s ympyrässä, jonka säde on r = 4 m. Laske sen pyörimismäärä ympyrän keskipisteen ympäri.

Ratkaisu: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg.m ² /s

2. Tehtävä: Kiinteä pallo, jonka massa on 3 kg ja säde 0.5 m, pyörii halkaisijansa ympäri kulmanopeudella ω = 2 rad/s. Mikä on sen pyörimismäärä?

Ratkaisu: Kiinteän pallon tapauksessa I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L = 2/5 × 3 × (0.5) ² × 2 = 0.6 kg.m ² /s

3. Tehtävä: 3 kg:n painoinen piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella 4 m/s. Mikä on sen pyörimismäärä pisteen ympäri, joka on 5 metrin päässä sen liikelinjasta?

Ratkaisu:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg· ^m² /s

4. Tehtävä: 5 kg massainen ja 3 m säteinen kiekko pyörii 2 rad/s kulmanopeudella. Laske sen pyörimismäärä.

Ratkaisu: Levylle I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L = 1/2 × 5 × 3 ² × 2 = 45 kg.m ² /s

5. Tehtävä: 4 m pitkä ja 2 kg massainen sauva pyörii toisen pään ympäri kulmanopeudella 3 rad/s. Laske sen pyörimismäärä.

Ratkaisu: Sauvan toisesta päästä I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$

L = 1/3 × 2 × 4 ² × 3 = 96 kg.m ² /s

6. Ongelma: Mikä on pyörivän kappaleen kulmamomentin muutos, jos sen kulmanopeus kaksinkertaistuu?

Ratkaisu: Kulmamomentin (L) ja kulmanopeuden (ω) välinen suhde on $L=I\times \omega$ . Jos ω kaksinkertaistuu, myös kulmamomentti kaksinkertaistuu.

7. Ongelma: Jos liikkuvan hiukkasen ympyräradan säde kaksinkertaistuu nopeuden pysyessä vakiona, kuinka monta kertaa pyörimismäärä muuttuu?

Ratkaisu: Kulmamomentti, $L=m\times r\times v$ . Jos r kaksinkertaistuu, L kaksinkertaistuu myös.

8. Tehtävä: 30 kg painava lapsi seisoo paikallaan olevan karusellin reunalla. Karusellin säde on 2 m. Jos lapsi alkaa juosta nopeudella 2 m/s maahan nähden reunaa pitkin, laske lapsen pyörimismäärä keskipisteeseen nähden.

Ratkaisu: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg.m ² /s

9. Tehtävä: Sylinteri, jonka massa on 6 kg ja säde 2 m, pyörii keskiakselinsa ympäri kulmanopeudella 5 rad/s. Laske sen pyörimismäärä.

Ratkaisu: Sylinterille I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg m² ^/ s

10. Ongelma: Mikä on kappaleen uusi pyörimismäärä, jos sen hitausmomentti puolittuu ja kulmanopeus kolminkertaistuu?

Ratkaisu: Oletetaan , että $L=I\times \omega$ , ja jos $I$ puolitetaan ja $\omega$ kolminkertaistetaan, uusi $L$ on 1/2 × 3 = 1.5 × alkuperäinen.

11. Ongelma: 2 kg:n massainen ja 1 m:n säteinen rengas pyörii 4 rad/s:n kulmanopeudella. Laske sen pyörimismäärä.

Ratkaisu: Vanteelle I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1² ^× 4=8 kg ^·m² /s

12. Tehtävä: Tuulettimen siivet ovat 0.5 m pitkiä ja kokonaismassa 1 kg. Jos se pyörii kulmanopeudella 10 rad/s, määritä sen pyörimismäärä.

Ratkaisu: Olettaen, että tuulettimen lavat ovat kuin sauvoja, jotka pyörivät toisen pään ympäri, I =1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg m² ^/ s

13. Tehtävä: Laske maapallon pyörimismomentti oman akselinsa ympäri pyörimisestään johtuen. Annettu: Maan massa ⁼ 5.972 × 10²⁴ ^kg , Säde $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻¹⁴rad\text{/s}$.

Ratkaisu: Olettaen, että maa on kiinteä pallo, I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$ = 2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ^-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Ongelma: Lapsi liikkuu pyörivän alustan keskustaa kohti. Kasvaako, pieneneekö vai pysyykö pyörimismäärä samana?

Ratkaisu: Kulmamomentti säilyy. Kun lapsi liikkuu kohti keskustaa, hitausmomentti pienenee. Kulmamomentin säilyttämiseksi kulmanopeus kasvaa. Näin ollen kulmamomentti pysyy samana.

15. Ongelma: Jos pyörivän kappaleen liike-energia kaksinkertaistuu, kuinka monella kertaa sen pyörimismomentti muuttuu?

Ratkaisu: Liike-energia K = 1/2 I ω ² ja pyörimismomentti $L=I\omega$ . Jos liike-energia kaksinkertaistuu ja $I$ pysyy vakiona, ω ² kaksinkertaistuu. Tämä tarkoittaa, että $\omega$ kasvaa kertoimella √ 2 .$Näin\; ollen\; L$ kasvaa myös kertoimella √ 2 .

16. Ongelma: Polkupyörän pyörän, jonka säde on 0.3 m, vanteen massa on 1.5 kg. Jos se pyörii kulmanopeudella 5 rad/s, laske sen pyörimismäärä.

Ratkaisu: Olettaen, että vanne on renkaan muotoinen, I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s​

17. Ongelma: Luistelija vetää käsivarsiaan sisäänpäin pyöriessään. Mitä tapahtuu hänen pyörimismäärälleen?

Ratkaisu: Luistelijan pyörimismomentti säilyy. Vetämällä käsivarsiaan sisäänpäin hän pienentää hitausmomenttiaan ja siten pyörii nopeammin (kulmanopeus kasvaa) säilyttääkseen pyörimismomenttinsa.

18. Ongelma: Vauhtipyörän hitausmomentti on 0.2 kg.m ² kg.m ² ja se pyörii kulmanopeudella 10 rad/s. Laske sen pyörimismäärä.

Ratkaisu:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Ongelma: Järjestelmään vaikuttaa ulkoinen nettomomentti, jonka suuruus on nolla. Mitä voit sanoa sen pyörimismäärästä?

Ratkaisu: Jos ulkoinen nettomomentti on nolla, niin pyörimismäärän säilymislain mukaan järjestelmän kokonaisliikemäärä pysyy vakiona.

20. Tehtävä: Piste, jonka massa on m = 5 kg, liikkuu nopeudella v = 3 m/s kohtisuorassa sen ja pisteen P yhdistävään suoraan nähden. Jos etäisyys pisteestä P on 4 m, laske sen pyörimismäärä pisteen P ympäri.

Ratkaisu:

$L=m\times r\times v$ = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s