Ympyräliike – ongelmia ja ratkaisuja

1. 10 kg painava kappale liikkuu ympyrää vakionopeudella 4 m/s. Jos ympyrän säde on 0.5 metriä, niin:

1) Ympyröiden taajuus on 4/π Hz

2) keskihakuinen kiihtyvyys on 32 ms^-2

3) keskihakuvoima on 320 N

4) Jakso on 4π s.

Mitkä väitteet ovat totta?

Tunnettu:

Massa esineen paino (m) = 10 kg

lineaarinen nopeus (v) = 4 m/s

Ympyrän säde (r) = 0.5 metriä

ratkaisu:

1) Ympyrän taajuus

v = 2πrf

4 = 2π(0.5)f

4 = πf

f = 4/π hertsiä

2) Keskihajoava kiihtyvyys

a_s = v² / r = 4² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/s²

3) Keskihakuinen voima

F = ma_s = (10)(32) = 320 N

4) Aika

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. Kappale liikkuu 6 metrin säteellä olevassa ympyrässä. Jos kappale kiertää 16 ympyrää 2 minuutissa, mikä on kappaleen lineaarinen nopeus?

Tunnettu:

Säde (r) = 6 metriä

Kulmanopeus (ω) = 16 kierrosta / 2 minuuttia = 8 kierrosta / minuuttia = 8 kierrosta / 60 sekuntia = 0.13 kierrosta/sekunti.

Halusi: Lineaarinen nopeus (v)?

ratkaisu:

v = r ω = (6 metriä)(0.13 kierrosta/sekunti) = 0.8 metriä/sekunti

Radiaaneina:

1 kierros = 2π radiaania = 2(3.14) = 6.28 radiaania

Kulmanopeus = 8 (6.28) radiaania / 60 sekuntia = 50.24 radiaania / 60 sekuntia = 0.84 radiaania/sekunti

v = r ω = (6 metriä)(0.84 radiaania/sekunti) = 5.04 radiaania/sekunti.

3. Kappale, jonka säde on 20/π cm, pyörii 4 kertaa sekunnissa. Mikä on kappaleen reunan lineaarinen nopeus?

Tunnettu:

Säde (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 metriä

Kulmanopeus (ω) = 4 kierrosta / 1 sekunti = 4 kierrosta / sekunti.

1 kierros = (2)(3.14) radiaania = 6.28 radiaania

Kulmanopeus (ω) = (4)(6.28) radiaania/sekunti = 25.12 radiaania/sekunti

Etsitään: Kappaleen reunan lineaarinen nopeus (v)

ratkaisu:

v = r ω = (0.064 metriä)(25.12 radiaania/sekunti) = 1.6 metriä/sekunti

4. Kappale liikkuu ympyrää vakionopeudella, ja kappaleen lineaarinen nopeus riippuu…

Katso myös Elastiset törmäykset yhdessä ulottuvuudessa – ongelmia ja ratkaisuja

ratkaisu:

Ympyräliikkeen lineaarisen nopeuden yhtälö:

v = lineaarinen nopeus

d = 2πr = ympärysmitta

T = periodi = yhden täyden kierroksen tekemiseen tarvittava aika.

5. Kappale liikkuu 50 metrin säteellä olevassa ympyrässä. Jos kappaleen kulmanopeus on 120 rpm, mikä on aikaväli ja kappaleen lineaarinen nopeus?

Tunnettu:

Säde (r) = 50 cm = 0.5 metriä

Kulmanopeus (ω) = 120 rpm = 120 kierrosta / 1 minuutti = 120 kierrosta / 60 minuuttia = 2 kierrosta / 1 sekunti

1 kierros = 2π radiaania

Kulmanopeus (ω) = 2 (2π radiaania) / 1 sekunti = 4π radiaania/sekunti

Etsitään: Aikaväli (T) ja lineaarinen nopeus (v)

ratkaisu:

Jakso (T):

Jakso on yhden täyden kierroksen tekemiseen tarvittava aika.

Kappale pyörii kaksi kierrosta sekunnissa = yksi kierros 0.5 sekunnissa. Jakso = 0.5 sekuntia.

Lineaarinen nopeus (v):

v = r ω = (0.5 metriä)(4π radiaania/sekunti) = 2π metriä/sekunti.

Mitä eroa on tangentiaalisella nopeudella ja kulmanopeudella pyöreässä liikkeessä?
VastausTangentiaalinopeus on pyörivän kappaleen pisteen lineaarinen nopeus ja se osoittaa, kuinka nopeasti piste liikkuu ympyrärataansa pitkin. Kulmanopeus puolestaan viittaa siihen, kuinka nopeasti kulma muuttuu kappaleen pyöriessä. Tangentiaalinopeus mitataan tyypillisesti metreinä sekunnissa (m/s), kun taas kulmanopeus mitataan yleensä radiaaneina sekunnissa (rad/s).

Mikä on keskihakuinen kiihtyvyys ja miten se liittyy ympyräliikkeeseen?
VastausKeskihakuinen kiihtyvyys on kappaleen kokema kiihtyvyys ympyräradalla. Se osoittaa aina ympyrän keskipistettä kohti ja pitää kappaleen ympyräradallaan. Keskihakuisen kiihtyvyyden kaava on $a_{c} = v ^{2 /r}$ jossa $v$ on tangentiaalinen nopeus ja $r$ on ympyrän säde.
Miksi kappaleella, joka liikkuu tasaisesti ympyrää pitkin, on kiihtyvyys, vaikka sen nopeus on vakio?
VastausVaikka nopeuden suuruus (tai koko) pysyy vakiona tasaisessa ympyräliikkeessä, nopeuden suunta muuttuu. Koska kiihtyvyys määritellään nopeuden muutokseksi ja nopeus on vektorisuure, jolla on sekä suuruus että suunta, mikä tahansa suunnanmuutos muodostaa kiihtyvyyden. Tässä tapauksessa se on keskihakuiskiihtyvyys.

Miten ympyräliikkeen ylläpitämiseen tarvittava voima liittyy kappaleen massaan ja ympyrän säteeseen?
VastausYmpyräliikkeen ylläpitämiseen tarvittava voima saadaan keskihakuisvoiman kaavasta: $F_{c} = m \times a_{c} = m \times v ^{2 /r}$ Kuten yhtälöstä nähdään, tarvittava voima on suoraan verrannollinen kappaleen massaan ja kääntäen verrannollinen ympyrän säteeseen.
Miksi tunnet olosi työnnetyksi ulospäin, kun auto tekee jyrkän käännöksen (esim. liikenneympyrässä)?
VastausTämä johtuu "kuvitteellisesta" keskipakoisvoimasta, joka on havaittu voima, joka vaikuttaa ulospäin ympyrää pitkin liikkuvaan kappaleeseen. Se ei ole todellinen voima työntö- tai vetovoiman mielessä, vaan pikemminkin inertian vaikutus. Kehosi haluaa liikkua suorassa linjassa (Newtonin ensimmäinen laki), mutta auton seinät tai turvavyö kohdistavat voiman pitääkseen sinut liikkeessä ympyrää pitkin. Tämä luo tunteen siitä, että sinua työnnetään ulospäin.

Mikä on kitkan rooli ympyräliikkeessä, erityisesti kun auto kääntyy tiellä?
VastausRenkaiden ja tien välinen kitka tarjoaa tarvittavan keskihakuisen voiman, joka mahdollistaa auton kääntymisen. Ilman riittävää kitkaa auto luisuisi tai luisuisi eikä pysyisi aiotulla ympyräradallaan.

Miten keskihakuisvoima muuttuu, jos ympyräradan säde puolittuu, mutta nopeus pysyy samana?
VastausJos säde puolittuu ja nopeus pysyy samana, keskihakuisvoima kaksinkertaistuu, koska keskihakuisvoima on kääntäen verrannollinen säteeseen.

Miksi keskipakoisvoimaa ei voi olla ilman keskihakuisvoimaa ympyräliikkeessä?
VastausKeskipakoisvoima on reaktiivinen tai "fiktiivinen" voima, jota havaitaan pyörivässä viitekehyksessä. Se näyttää työntävän kappaleita ulospäin pyörimiskeskipisteestä. Jotta kappale kuitenkin liikkuisi ympyränmuotoista rataa pitkin, sen keskipisteeseen on vaikutettava todellinen voima, joka on keskihajoava voima. Ilman keskihajoavaa voimaa ei olisi ympyräliikettä, eikä siten myöskään keskipakoisvoimaa havaittaisi.
Miten Maan ja Kuun välinen gravitaatiovoima on vastuussa Kuun ympyräradasta?
VastausMaan ja Kuun välinen painovoima toimii keskihakuisena voimana, joka pitää Kuun kiertoradallaan Maan ympäri. Ilman tätä painovoimaa Kuu liikkuisi suorassa linjassa ympyränmuotoisen (tai tarkemmin sanottuna elliptisen) kiertoradan sijaan.

Jos palloon sidottu naru lyhenee puoleen samalla kun palloa pyöritetään ympyrää samalla nopeudella, miten narun kireys muuttuu?

VastausJos jänteen pituus (joka vastaa ympyränmuotoisen radan sädettä) puolitetaan ja nopeus pidetään vakiona, tarvittava keskihakuisvoima (ja siten jänteen jännitys) kaksinkertaistuu. Tämä johtuu siitä, että keskihakuisvoima (ja vaihtelevasti jännitys tässä skenaariossa) on kääntäen verrannollinen säteeseen.