Vektorien yhteenlasku komponenttien avulla – ongelmia ja ratkaisuja

Vektorien yhteenlasku komponenttien avulla – ongelmia ja ratkaisuja

1. Kolme vektoria, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty.

V₁ = 30

V2 = ₃₀

V3 = ₄₀

Mitkä ovat resultanttivektorit?

Tunnettu:

V1 = ₃₀ , kulma V1 _:n ja x-akselin välillä = 30 ^°

V2 = ₃₀ , kulma V2 _:n ja x-akselin välillä = 30 ^°

V3 = 40, V3:n ja x-akselin välinen _{kulma =} 0 ^°

Etsitään: Tuloksena olevat vektorit

ratkaisu:

Vektorien komponentit :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^° ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista x-akselia pitkin (oikealle).

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ⁰ ) = (30)(0.5) = 15. Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista y-akselia pitkin (ylöspäin).

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ⁰ ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Negatiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa negatiivista x-akselia pitkin (vasemmalle).

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ⁰ ) = (30)(0.5) = 15. Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista y-akselia pitkin (ylöspäin).

V _3x = (V ₃ )(cos 0 0 ⁾ = (40)(1) = 40. Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivisen x-akselin suuntaisesti (oikealle).

V _3y = (V ₃ ) (sin 0 ^o ) = (40) (0) = 0

Tuloksena olevien vektorien komponentit:

Vx = V1x _– V2x ₊ V3x _{= 15√3 –} 15√3 + 40 = 40

V _y = V _{1 v} + V _{2 v} + V _{3 v} = 15 + 15 = 30

Tuloksena oleva vektori :

2. Kaksi toisiinsa nähden kohtisuorassa olevaa voimaa, F1 ₌ 12 N ja F2 ₌ 5 N. Mikä on molempien voimien resultantti?

Tunnettu:

Voima 1 (F1 ₎ = 12 Newtonia

Voima 2 (F2 ₎ = 5 Newtonia

Etsitään: Resultanttivektorit ( ΣF)

ratkaisu:

ΣF2 = F1 _/ ² + F2 _/ ^{2 =} 12/2 + 5/2 = ¹⁴⁴ + 25 = ¹⁶⁹

ΣF = √ 169 = 13 Newtonia

3. Kolme vektoria,

V₁ = 30

V2 = ₃₀

V3 = ₄₀

Määritä resultanttivektorit.

Tunnettu:

v ₁ = 30, tekee 30 ^astetta negatiivisen x-akselin ympäri

v ₂ = 30, tekee 30 ^astetta positiivisen x-akselin ympäri

v ₃ = 40, tekee 0 ^astetta positiivisen x-akselin ympäri

Etsitään: Tuloksena olevat vektorit

ratkaisu:

Vektorien komponentit:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Negatiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa negatiivista x-akselia pitkin (vasemmalle) )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista y-akselia pitkin (ylöspäin) )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista x-akselia pitkin (oikealle ) )

v _2y = v ₂ sin 30 ⁰ = (30)(0.5) = 15 ( Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista y-akselia pitkin (ylöspäin). )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista x-akselia pitkin (oikealle). )

v _3y = v ₃ sin 0 ^o = (40) (0) = 0

Tuloksena olevien vektorien komponentit:

√ _x = – √ _1x + √ _2x + √ _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _{1 v} + v _{2 v} + v _{3 v} = 15 + 15 = 30

Tuloksena oleva vektori:

4. Mikä on kolmen vektorin resultantti, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty :

Tunnettu:

F₁ = 3 Newtonia, tekee 60^o positiivisen x-akselin ympäri

F2 = 3 Newtonia, tekee 0 ^astetta negatiivisen x-akselin _ympäri

F3 = ₆ Newtonia , tekee 60 ^astetta negatiivisen y-akselin ympäri

Halutaan: Resultanttivektori

ratkaisu:

Vektorien komponentit:

F _1x = F ₁ cos 60 ⁰ = (3)(0.5) = 1.5 N ( Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista x-akselia pitkin (oikealle ) )

F _1y = F ₁ sin 60 ⁰ = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista y-akselia pitkin (ylöspäin) )

F _2x = F ₂ cos 0 ⁰ = (3)(1) = -3 N ( Negatiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa negatiivista x-akselia pitkin (vasemmalle) )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3) (0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ⁰ = (6)(0.5) = 3 N ( Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista x-akselia pitkin (oikealle ) )

F _3y = F ₃ sin 60 ⁰ = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Negatiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa negatiivista y- akselia pitkin ( alaspäin ) )

Tuloksena olevien vektorien komponentit:

ΣFx ₌ F1x _– F2x + _F3x = 1.5N – 3N + 3N = _1.5N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

Tuloksena oleva vektori:

5. Kaksi voimaa, F1 = ₁₅ N ja F2 ₌ 9 N. Vektorien välinen kulma on 60°. Mikä on vektoreiden resultantti?

Etsitään:

Voima 1 (F1 ₎ = 15 Newtonia

Voima 2 (F2 ₎ = 9 Newtonia

Kulma ( θ) = 60 ^°

Halutaan: Resultanttivektori

ratkaisu:

6. Mikä on kolmen vektorin resultantti, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty?

Tunnettu:

F₁ = 20 Newtonia, kulma F:n ja :n välillä₁ ja x-akseli = 0

F2 = ₂₀ Newtonia, kulma F2 _:n ja x-akselin välillä = 60

F3 = ₂₄ Newtonia, kulma F3 _:n ja x-akselin välillä = 60

Halutaan: Resultanttivektori

ratkaisu:

Vektorien komponentit:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista x-akselia pitkin (oikealle )

F _1y = (F ₁ ) (sin 0) = (20) (0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Negatiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa negatiivista x-akselia pitkin (vasemmalle)

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa positiivista y-akselia pitkin (ylöspäin)

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Negatiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa negatiivista x-akselia pitkin (vasemmalle)

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N on negatiivinen, koska tämä vektorikomponentti osoittaa negatiivista y- akselia pitkin ( alaspäin ).

Tuloksena olevien vektorien komponentit:

Fx ₌ F1x _– F2x – F3x ₌ 20 – 10 – 12 = _-2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

Tuloksena oleva vektori: