11 esimerkkiä tasaisen ympyräliikkeen ongelmista
1. Hiukkanen liikkuu ympyrää vakiokulmanopeudella 10 rad/s. Määritä (a) hiukkasen kulmanopeus 10 sekunnin kuluttua (b) hiukkasen muodostama kulma 10 sekunnin kuluttua.
Keskustelu
(a) kulmanopeus 10 sekunnin kuluttua
Hiukkanen liikkuu tasaisessa ympyrässä = hiukkanen liikkuu vakiokulmanopeudella. Joten kulmanopeus 10 sekunnin kuluttua on edelleen 10 radiaania/sekunti.
(b) 10 sekunnin kuluttua suljettu kulma
Vakiokulmanopeus 10 radiaania/sekunti tarkoittaa, että hiukkanen pyörii 10 radiaanin kulman joka sekunti. Kahden sekunnin kuluttua hiukkanen on kiertynyt 2 x 10 = 20 radiaanin kulman. 10 sekunnin kuluttua hiukkanen on kiertynyt 10 x 10 radiaanin = 100 radiaanin kulman.
2. Sylinterin reunalla oleva piste liikkuu ympyrää vakionopeudella 10 m/s. Sylinterin säde = 1 metri. Määritä (a) sylinterin reunan nopeus 5 sekuntia myöhemmin (b) sylinterin reunan kulkema matka 5 sekuntia myöhemmin (c) pyörimisakselista 0,5 metrin ja 1 metrin etäisyydellä olevien pisteiden keskihakuiskiihtyvyys.
Keskustelu
(A) sylinterin reunalla olevan pisteen nopeus 5 sekunnin kuluttua
Sylinteri liikkuu ympyrää vakionopeudella, joten 5 sekunnin kuluttua sylinterin reunan nopeus on edelleen 10 metriä sekunnissa.
(B) sylinterin reunalla olevan pisteen kulkema matka 5 sekunnin kuluttua
Ilman kaavaa
Nopeus 10 metriä sekunnissa tarkoittaa, että sylinterin reunalla oleva piste liikkuu 10 metriä sekunnin välein. Yhden sekunnin kuluttua sylinterin reunalla oleva piste liikkuu 10 metriä. Kahden sekunnin kuluttua sylinterin reunalla oleva piste liikkuu 20 metriä. Viiden sekunnin kuluttua sylinterin reunalla oleva piste liikkuu ympyrää 50 metriä.
Kaavan käyttäminen :
v = s / t
s = vt = (10)(5) = 50 metriä
(C) keskihakuiskiihtyvyys (as)
Yhden metrin etäisyydellä akselista olevan pisteen keskihakuinen kiihtyvyys on:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 m/s2
Yhden metrin etäisyydellä akselista olevan pisteen keskihakuinen kiihtyvyys on:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 1 = 100 m/s2
3. Kääntöpöytä, jonka säde on 2 metriä, liikkuu vakiokulmanopeudella 60 rpm. Määritä (a) kääntöpöydän kulmanopeus 2 sekuntia myöhemmin (b) kääntöpöydän rajaama kulma 1 minuutin kuluttua (b) tangentiaalinen nopeus, keskihajoava kiihtyvyys ja pisteen kulkema matka 1 metrin päässä pyörimisakselista (c) tangentiaalinen nopeus, keskihajoava kiihtyvyys ja pisteen kulkema matka kääntöpöydän reunalla.
Keskustelu
Se tiedetään :
Jawab :
(A) kulmanopeus ( ) 2 sekunnin kuluttua
Kulmanopeus on vakio, joten kahden sekunnin kuluttua kääntöpöydän kulmanopeus on edelleen 6,28 radiaania sekunnissa.
(B) nurkka ( ) pyörivän alustan ympäröimänä 1 minuutin kuluttua
Kulmanopeus 1 kierros/sekunti tarkoittaa, että kääntölava tekee yhden kierroksen joka sekunti. 60 sekunnin kuluttua kääntölava on tehnyt 60 kierrosta. Tai toisin sanoen,
Kulmanopeus 6,28 radiaania sekunnissa tarkoittaa, että kääntöpöytä pyörii 6,28 radiaanin kulman joka sekunti. 60 sekunnin kuluttua kääntöpöytä on pyörinyt 376,8 radiaanin kulman.
4. Auton pyörä pyörii aina 120 kertaa 60 sekunnin välein. Mikä on pyörän kulmanopeus? Ilmoita se: (a) kierrosta minuutissa (rpm) tai kierrosta minuutissa (b) astetta sekunnissa (o/s) (c) radiaania sekunnissa (rad/s)
Keskustelu
(A) pyörän kulmanopeus yksikköinä kierrosta minuutissa (rpm)
120 kierrosta / 60 sekuntia = 120 kierrosta / 1 minuutti = 120 kierrosta / minuutti = 120 rpm
(B) pyörän kulmanopeus asteina sekunnissa (o/ S)
1 kierros = 360o, 120 kierrosta = 43200o
Joten 120 kierrosta / 60 sekuntia = (120)(360o) / 60 sekuntia = 43200o / 60 sekuntia = 720o/toinen
(C) pyörän kulmanopeus radiaaneina/sekunti (rad/s)
1 kierto = 6,28 radiaania
Joten 120 kierrosta / 60 sekuntia = (120)(6,28) radiaania / 60 sekuntia = 753,6 radiaania / 60 sekuntia = 12,56 radiaania/sekunti
5. Marmoria kehrätään pyöreässä kulhossa, jonka halkaisija on 1 m. Jos marmori pyörii kulhon reunan ympäri vakiolla 50 rpm:n kulmanopeudella, niin marmorin lineaarinen nopeus ja keskihakuiskiihtyvyys ovat….
A. 50 ms-1 ja 2500 ms-2
B. 5π ms-1 ja 25π2 neiti-2
C. 5π/3 ms-1 ja 25π2/18 ms-2
D. 5π/6 ms-1 ja 25π2/18 ms-2
E. 5π/12 ms-1 ja 25π2/36 ms-2
Keskustelu
Tiedetään, että:
Ympyrän halkaisija (D) = 1 metri
Ympyrän säde (r) = 0,5 metriä
Kulmanopeus (ω) = 50 rpm = 50 kierrosta / 1 minuutti
1 kierros = 2π radiaania
50 kierrosta = 50 (2π radiaania) = 100π radiaania
1 minuutti = 60 sekuntia
Kulmanopeus (ω) = 100π radiaania / 60 sekuntia = (10π/6) radiaania/sekunti
Kysymys: Lineaarinen nopeus (v) ja keskihakuinen kiihtyvyys (a)s)
Vastaus:
Lineaarinen nopeus (v):
v = r ω = (0,5) (10π/6) = 5π/6 m/s
Keskihajoava kiihtyvyys (a)s):
as = v2/r = (5π/6)2 : 0,5 = 25π2/36 : 0,5 = (25π2/36)(1/0,5)
as = (25π2/18) m/s2
Oikea vastaus on D.
6. Kappale liikkuu ympyrää, jonka säde on 50 cm. Jos kappale pyörii nopeudella 120 rpm, niin sen pyörimisaika ja nopeus ovat vastaavasti….
A. 0,5 s ja 2π ms-1
B. 0,5 s ja 0,2π ms-1
C. 0,5 s ja π ms-1
D. 2 s ja 5π ms-1
E. 2 s ja 10π ms-1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Säde (r) = 50 cm = 0,5 metriä
Kulmanopeus (ω) = 120 rpm = 120 kierrosta / 1 minuutti = 120 kierrosta / 60 minuuttia = 2 kierrosta / 1 sekunti
1 kierros = 2π radiaania
Kulmanopeus (ω) = 2 (2π radiaania) / 1 sekunti = 4π radiaania/sekunti
Kysymys: Pyörimisaika (T) ja lineaarinopeus (v)
Vastaus:
Syklin kesto tai jakso (T):
Periodi on aika, joka kappaleelta kuluu yhden kierroksen suorittamiseen.
Kappale tekee 2 kierrosta sekunnissa = kappale tekee 1 kierroksen 0,5 sekunnissa. Joten pyörimisaika eli jakso on 0,5 sekuntia.
Kohteen nopeus (v):
v = r ω = (0,5 metriä)(4π radiaania/sekunti) = 2π metriä/sekunti
Oikea vastaus on A.
Tutki ympyräliikettä ja säännöllistä ympyräliikettä käsittelevää materiaalia ymmärtääksesi paremmin tämän kysymyksen käsittelyn.
7. Pyörä, jonka säde on 10 cm, pyörii tasaisesti 180 kierrosta minuutissa. Pyörän reunalla olevan pisteen lineaarinen nopeus on…
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kysytty:
Lineaarinen nopeus (v) ?
Vastaus:
Pyörän reunassa oleva piste on 0,1 metrin päässä pyörän keskipisteestä.
Oikea vastaus on A.
8. Kappale liikkuu vakionopeudella v ympyränmuotoista rataa pitkin, jonka säde on R ja jonka kiihtyvyys on keskihakuisesti (as). Joten keskihakuiskiihtyvyydestä tulee kolminkertainen alkuperäiseen verrattuna, niin...
A. v toistetaan neljä kertaa ja R toistetaan kaksi kertaa uudelleen
B. v toistetaan kaksi kertaa ja R toistetaan neljä kertaa uudelleen
C. v tehdään kaksi kertaa ja R tehdään taas kaksi kertaa
D. v pysyy ja R kaksinkertaistuu uudelleen
E. v kaksinkertaistuu uudelleen ja R pysyy
Keskustelu
Oikea vastaus on C.
9. Pyörät A, B ja C on yhdistetty toisiinsa kuvan mukaisesti. Jos pyörien A, B ja C säteet ovat 10 cm, 4 cm ja 2 cm ja pyörä B pyörii kulmanopeudella 5 rad.s-1 sitten pyörä C pyörii kulmanopeudella….
A. 80 rad.s-1
B. 55 rad.s-1
C. 40 rad.s-1
D. 25 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Vastaus:
Pyörän A ja pyörän B välinen suhde
Pyörät A ja B ovat kiinni toisissaan, joten ne pyörivät yhdessä. Koska ne pyörivät yhdessä, pyörän A kulmanopeus = pyörän B kulmanopeus.
Pyörän A ja pyörän C välinen suhde
Pyörän A ympärysmitta on paljon suurempi kuin pyörän C ympärysmitta. Jos pyörä C on ottanut 360 asteen kulmano tai tee yksi kierros, samaan aikaan pyörä A ei ole saavuttanut 360 astettao tai yksi kierros. Näin ollen pyörän A kulmanopeus ei ole sama kuin pyörän C kulmanopeus.
Pyörät A ja C on kuitenkin yhdistetty köydellä. Koska ne on yhdistetty köydellä, saman aikavälin aikana pyörän A reunan kulkema matka on = pyörän C reunan kulkema matka. Joten pyörän A lineaarinopeus on = pyörän B lineaarinopeus.
Johtopäätös:
Oikea vastaus on D.
10. Esine, jolla ontasainen pyöreä liike 6 metrin säteellä. Jos esine tekee 2 minuutissa 16 kierrosta, niin lineaarinen nopeus kohde on….
A. 0,8 p ms-1
B. 1,0 p ms-1
C. 1,2 pms-1
D. 1,4 p ms-1
E. klo 1,6 ms-1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Säde (r) = 6 metriä
Kulmanopeus (ω) = 16 kierrosta / 2 minuuttia = 8 kierrosta / minuutti = 8 kierrosta / 60 sekuntia = 0,13 kierrosta / sekunti.
Kysymys: lineaarinen nopeus (v)?
Vastaus:
Lineaarisen nopeuden (v) ja kulmanopeus (ω) :
v = r ω = (6 metriä)(0,13 kierrosta/sekunti) = 0,8 kierrosta metriä/sekunti
Oikea vastaus on A.
Jos ilmaistaan radiaaneina:
1 kierros = 2π radiaania = 2(3,14) = 6,28 radiaania
Kulmanopeus = 8 (6,28) radiaania / 60 sekuntia = 50,24 radiaania / 60 sekuntia = 0,84 radiaania/sekunti
v = r ω = (6 metriä)(0,84 radiaania/sekunti) = 5,04 radiaania/sekunti
11. Tuulettimen potkuri, jonka säde on 20/π cm, voi pyörähtää 4 kertaa sekunnissa. Potkurin kärjen lineaarinopeus on…
A. 3,2 ms-1
B. 1,6 ms-1
C. 1,3 ms-1
D. 1,0 ms-1
E. 0,8 ms-1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Säde (r) = 20/π m = 20 / 3,14 cm = 6,4 cm = 0,064 metriä
Kulmanopeus (ω) = 4 kierrosta / 1 sekunti = 4 kierrosta/sekunti
1 kierros = (2)(3,14) radiaania = 6,28 radiaania
Kulmanopeus (ω) = (4)(6,28) radiaania/sekunti = 25,12 radiaania/sekunti
Kysymys: potkurin kärjen lineaarinopeus (v)?
Vastaus:
v = r ω = (0,064 metriä)(25,12 radiaania/sekunti) = 1,6 metriä/sekunti
Oikea vastaus on B.
