Elämästämme on tullut helpompaa ja mukavampaa pyörillä varustettujen ajoneuvojen ja nykyaikaisten laitteiden, kuten generaattoreiden, jyrsinkoneiden, tuulettimien, ruohonleikkureiden, kukkakastelulaitteiden ja niin edelleen, ansiosta. Pyörillä varustetut ajoneuvot, kuten polkupyörät, moottoripyörät, autot ja lentokoneet, eivät voi liikkua, jos niillä ei ole pyöriä tai jos pyörät eivät pyöri. Helikopterit tai lentokoneet eivät myöskään voi lentää, jos niiden potkurit eivät pyöri. Laivat eivät voi purjehtia, jos niiden generaattorit tai potkurit eivät pyöri. Yöllä talo muuttuu pilkkopimeäksi, eikä viihdettä ole, jos generaattori tai voimalaitos ei toimi. Monet esineet tekevät ympyräliikettä joka päivä. Vaikka emme sitä tiedostaisikaan, maa, jolla elämme, kuu, joka valaisee meitä yöllä, keinotekoiset satelliitit, kuten sähkömagneettisia aaltoja televisio-, radio-, matkapuhelin- ja internet-lähetyksiin välittävät tietoliikennesatelliitit, pyörivät aina eli liikkuvat ympyrää koko ajan.
Kappaleen sanotaan olevan ympyräliikkeessä, jos sen rata on ympyränmuotoinen. Ympyräliikkeen fysikaaliset suureet koostuvat kulmasuureista (ympyräliikkeen suureet) ja lineaarisista suureista (suoraviivaisen liikkeen suureet). Kulmasuureita ovat kulmasiirtymä, kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys. Lineaariset suureet ovat suureita, kuten suoraviivaisessa liikkeessä, mukaan lukien siirtymä (matka), nopeus (nopeus) ja kiihtyvyys. Kääntäen, ympyräliikkeen suureita kutsutaan yleensä kulmasuureiksi . Ympyräliikkeessä lineaariset suureet liittyvät kulmasuureisiin.
Muunna kulmayksiköt (asteet, radiaanit, kierrokset)
1. ¼ kierrosta = ….. o (astetta)?
Keskustelu
1 kierros = 360o
½ kierrosta = 180o
¼ kierrosta = 90o
2. ½ kierrosta = …….. radiaaneja ?
Keskustelu
1 kierros = 2 piiradiaania = 2(3,14) radiaania = 6,28 radiaania
½ kierrosta = pii-radiaania = 3,14 radiaania
3. 180o (180 astetta) = ….. kierto tai vallankumous ?
Keskustelu
360o = 1 kierros (1 vallankumous)
180o = ½ kierrosta (1/2 vallankumous)
4. 90o = ….. radiaaneina ?
Keskustelu
360o = 2 piiradiaania = 2(3,14) radiaania = 6,28 radiaania
180o = pii-radiaanit = 3,14 radiaania
90o = ½ pi radiaani = ½ (3,14) = 1,57
5. 60 radiaania = ….. kierto?
Keskustelu
6,28 radiaania = 1 kierros
60 radiaania / 6,28 = 9,55 kierrosta
6. 40 radiaania = ….. o (astetta)?
Keskustelu
6,28 radiaani = 360o
40 radiaania / 6,28 = (6,37)(360o) = 2292,99o
Kulmanopeus
Ongelmaesimerkki.
1. Pyörä pyörii myötäpäivään muodostaen 180 asteen kulmano 2 sekunnin ajan ja 90 sekunnin ajano 1 sekunnin ajan. Määritä keskimääräisen kulmanopeuden suuruus ja suunta!
Keskustelu
Iso = 9o/sekunti = …. kierros/sekunti = ….. radiaani/sekunti ?
Suunta = myötäpäivään.
2. Pyörä pyörii myötäpäivään muodostaen 360 asteen kulmano 4 sekunnin ajan, minkä jälkeen pyörä pyörii 180o 2 sekuntia vastapäivään. Kuinka monta keskimääräinen kulmanopeus pyörä?
Keskustelu
Iso = 3o/sekunti = …. kierros/sekunti = ….. radiaani/sekunti ?
Suunta = myötäpäivään.
Hetkellinen kulmanopeus
Hetkellisen kulmanopeuden suuruus = hyvin lyhyessä ajassa kuljetun kulmanopeuden suuruus.
Suorassa tai lineaarisessa liikkeessä, nopea voidaan kutsua nopeus koska suuri siirtymä arvoltaan yhtä suuri kuin jarak jos se on hyvin pieni. Pyöreällä liikkeellä, suuri kulmanopeus voidaan kutsua kulmanopeus koska suuri kulmasiirtymä arvoltaan yhtä suuri kuin jarak nurkka jos se on hyvin pieni.
Keskimääräinen kulmakiihtyvyys
Ongelmaesimerkki.
1. Tuulimylly, joka aluksi pysyy hetken paikallaan ja sitten pyörii tuulen puhaltamana. Kahden sekunnin kuluttua kulmanopeus kasvaa 90°:een.o/s. Kuinka paljon? keskimääräinen kulmakiihtyvyys tuulimylly?
Keskustelu
Keskimäärin suuri kulmanopeus tuulimyllyjen määrä kasvoi 45:lläo/s sekunnin välein.
2. Potkuri pyörii aluksi 180 asteen kulmanopeudellao/s, 2 sekuntia myöhemmin se lakkaa pyörimästä. Kuinka monta keskimääräinen kulmahidastuvuus tuulimylly?
Keskustelu
Keskimäärin suuri kulmanopeus tuulimyllyjä vähennetty 90:lläo/s sekunnin välein.
Hetkellinen kulmakiihtyvyys
Hetkellistä kulmakiihtyvyyttä lyhennetään yleensä kulmakiihtyvyydeksi. Hetkellinen kulmakiihtyvyys on kulmanopeuden muutos hyvin lyhyessä ajassa. Matemaattisesti:
Pyöreän liikkeen jakso ja taajuus
Periodi ilmaisee ajan, joka hiukkaselta kuluu yhden pyörähdyksen tekemiseen, kun taas taajuus ilmaisee kierrosten määrän sekunnissa.
Jakson ja taajuuden välinen suhde ilmaistaan yhtälöllä:
f = 1/T
Kansainvälinen periodin yksikkö on sekunti, kansainvälisen taajuusjärjestelmän yksikkö on 1/sekunti eli hertsi.
Nopeus ja kulmanopeus
Ympyrässä liikkuvan hiukkasen tangentiaalinen nopeus ja kulmanopeus voidaan ilmaista jaksona ja taajuutena.
Pyöreää liikettä suorittavan hiukkasen nopeuden suuruus ilmaistaan yhtälöllä:
Ympyrässä liikkuvan hiukkasen kulmanopeuden suuruus ilmaistaan yhtälöllä:
Tietoja:
Ongelmaesimerkki
1. Kaksi pyörää A ja B, joiden hampaiden lukumäärä on vastaavasti 20 ja 50, asetetaan kosketuksiin toistensa kanssa niin, että kumpikin vaihde on parillinen. Jos pyörä A pyörii 50 kertaa sekunnissa, pyörän B kulmanopeus on….
Keskustelu
Se on tiedossa:
Hammaslukumäärä pyörässä A = 20
Hammaslukumäärä pyörässä B = 50
Pyörän A kulmanopeus ( ω A ) = 50 kierrosta/sekunti
1 kierros = 2π radiaania
(50)(2π radiaania)/sekunti = 100π radiaania/sekunti
Kysymys: Pyörän B kulmanopeus ( ω B )
Jawab:
Pyörän A lineaarinopeus: v A = r A ω A
Pyörän B lineaarinopeus: v B = r B ω B
Kaksi pyörää ovat kosketuksissa toisiinsa, joten niiden lineaarinen nopeus on sama.
v A = v B
rA ωA = rB ωB
(20)( 100π rad/s) = (50)(ω B )
(2)(100π rad/s) = (5)( ωB )
(2)(20π rad/s) = ωB
ωB = 40π rad/s
2. Vuoden 2017 kansalliset lukion/ammatillisen lukion tenttikysymykset
Katso seuraavaa kuvaa.
Moottoripyörä ajaa kaarteessa, jonka kaltevuuskulma tien reunaan nähden on α (tan α = 2/5). Suurin nopeus, jolla moottoripyörä ei pääse luistamaan, on 20 ms⁻¹ . Mikä on kaarteen säde?
A. 50 m
B. 100 metriä
Noin 200 metriä
D. 250 m
400 m itä
Keskustelu
Tiedetään, että:
Suurin nopeus (v) = 20 m/s
tangentti α = 2/5
Staattinen kitkakerroin (μs ) = tangentti α = 2/5
Kysymys: Taivutussäde (r)
Vastaus:
Keskihakuiskiihtyvyyden kaava:
Tietoja:
a s = keskihakuinen kiihtyvyys, v = nopeus, r = kaarevuussäde
Ainoa autoon kääntyessä vaikuttava vaakasuora voima on staattinen kitka. Staattisen kitkan kaava on:
Tietoja:
f s = staattinen kitkavoima, μ s = staattinen kitkakerroin, w = paino, m = massa, g = painovoiman aiheuttama kiihtyvyys
Newtonin toisen pääsäännön kaava ympyräliikkeelle:
Oikea vastaus on B.
3. Vuoden 2017 kansalliset lukion/ammatillisen lukion tenttikysymykset
Neljä pyörää on yhdistetty alla olevan kuvan mukaisesti!
Säde RA = 6 cm, oikeaB = 3 cm, oikeaC = 2 cm ja RD = 5 cm ja pyörä A pyörii lineaarinopeudella 3 ms-1, niin pyörän D kulmanopeus on…
Keskustelu
Tiedetään, että:
R A = 6 cm = 0,06 m, R B = 3 cm = 0,03 m, R C = 2 cm = 0,02 m, R D = 5 cm = 0,05 m.
v A = 3 ms -1
Kysymys: pyörän D kulmanopeus ( ωD )
Vastaus:
Pyörän A kulmanopeus:
v A = r A ω A
ω A = v A / r A = 3 / 0,06 = 50 rad/s
Pyörät A ja B pyörivät samalla kulmanopeudella.
ωA = ωB = 50 rad/ s
Pyörän B kulmanopeus:
ωB = 50 rad/ s
Pyörän B lineaarinopeus:
vB = rB ωB
v B = (0,03)(50 rad/s)
vB = 1,5 m/s
Pyörällä B ja pyörällä C on sama lineaarinen nopeus.
vB = vC = 1,5 m/ s
Pyörällä C ja pyörällä D on sama lineaarinen nopeus.
v C = v D = 1,5 m/s
Pyörän D kulmanopeus:
ωD = vD / rD = 1,5 / 0,05 = 30 rad/ s
