کمیت‌های فیزیک در حرکت دایره‌ای

کمیت‌های فیزیک در حرکت دایره‌ای شامل جابجایی زاویه‌ای، سرعت زاویه‌ای و شتاب زاویه‌ای هستند.

1. جابجایی زاویه‌ای (θ)

جابجایی در حرکت دایره‌ای، جابجایی زاویه‌ای نامیده می‌شود. بنابراین، جابجایی زاویه‌ای شامل کمیت‌های برداری، دارای اندازه و جهت است. جهت جابجایی زاویه‌ای معمولاً در جهت عقربه‌های ساعت (در جهت عقربه‌های ساعت یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت) بیان می‌شود.

سه واحد برای جابجایی زاویه‌ای وجود دارد. اول، درجه (o). یک محیط دایره برابر با ۳۶۰ درجه است.^oدوم، دوران. یک دور دایره برابر با یک دور است. سوم، رادیان. به شکل زیر توجه کنید. اگر جسمی در یک دایره حرکت کند، آنگاه r = شعاع دایره، x = طول مسیر دایره‌ای که جسم طی می‌کند = محیط دایره.

یک محیط دایره برابر با 2π رادیان است.

نمونه سوال ۱:

۱ دور کامل = ۳۶۰ ^درجه . ½ دور کامل = …. راد؟

راه حل:

1 دور = 360 ^o = 2 π راد = 2 (3.14) راد = 6.28 راد

1⁄2 دور = 180 ^درجه = 1⁄2 (6.28 رادیان) = 3.14 رادیان

نمونه سوال ۳:

1 راد = …… ^o ? 1 ^o = … راد؟

راه حل:

۱۸۰ ^درجه = π راد = ۳.۱۴ راد

۲. سرعت زاویه‌ای (ω)

الف) سرعت زاویه‌ای متوسط

نمونه سوال ۱:

چرخی در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد، به مدت ۲ ثانیه زاویه ۱۸۰ ^{درجه و به مدت ۱ ثانیه زاویه ۹۰ درجه} را طی می‌کند . بزرگی و جهت سرعت زاویه‌ای متوسط ​​چقدر است؟

راه حل:

جهت سرعت زاویه‌ای متوسط ​​= جهت عقربه‌های ساعت.

۹ ^درجه بر ثانیه = … رادیان بر ثانیه؟

نمونه سوال ۱:

چرخی در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد و به مدت ۴ ثانیه با زاویه ۳۶۰ ^درجه می‌چرخد . سپس چرخ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد و به مدت ۲ ثانیه با زاویه ۱۸۰ ^درجه می‌چرخد . سرعت زاویه‌ای متوسط ​​چقدر است؟

راه حل:

جهت سرعت زاویه‌ای متوسط ​​= جهت عقربه‌های ساعت.

۳ ^{درجه سانتیگراد} بر ثانیه = … رادیان بر ثانیه؟

ب. سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای

سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای اغلب سرعت زاویه‌ای نامیده می‌شود. اگر فقط سرعت زاویه‌ای ذکر شود، منظور سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای است. بزرگی سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای = بزرگی سرعت زاویه‌ای در یک بازه زمانی بسیار کوتاه. از نظر ریاضی:

اگر در حرکت خطی، می‌توانیم بزرگی سرعت را با تندی جایگزین کنیم، در حرکت دایره‌ای نیز می‌توانیم بزرگی سرعت زاویه‌ای را با تندی زاویه‌ای جایگزین کنیم.

3. شتاب زاویه ای (آ)

الف) شتاب زاویه‌ای متوسط

نمونه سوال ۳:

یک آسیاب بادی در ابتدا ساکن بود و باد به آن وزید، بنابراین در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخید. پس از ۲ ثانیه، سرعت زاویه‌ای ۹۰ ^درجه بر ثانیه می‌شود. سرعت زاویه‌ای متوسط ​​چقدر است؟

راه حل:

به طور متوسط، سرعت زاویه‌ای آسیاب بادی هر ۱ ثانیه ۴۵ درجه بر ثانیه تغییر می‌کند = … رادیان بر ثانیه هر ۱ ثانیه؟

ب. شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای

شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای اغلب به صورت خلاصه شتاب زاویه‌ای نامیده می‌شود. شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای تغییر در سرعت زاویه‌ای در یک بازه زمانی بسیار کوتاه است. از نظر ریاضی:

بزرگی‌های خطی در حرکت دایره‌ای

کمیت‌های خطی، کمیت‌هایی در حرکت خطی هستند، مانند جابجایی (مسافت)، سرعت (تند) و شتاب. از سوی دیگر، کمیت‌های حرکت دایره‌ای را می‌توان کمیت‌های زاویه‌ای نامید.

۲. جابجایی

جسمی را در نظر بگیرید که در حال چرخش است، مانند یک چرخ یا پنکه یا آسیاب بادی یا ساعت و غیره. وقتی جسمی مانند پنکه می‌چرخد، تمام قسمت‌های پنکه با هم می‌چرخند. اگر پنکه یک دور (۳۶۰ ^درجه ) بچرخد، تمام قسمت‌های پنکه، چه در لبه و چه در نزدیکی محور، یک دور کامل یا ۳۶۰ ^درجه می‌چرخند . یک دور کامل یا ۳۶۰ ^درجه ، بزرگی جابجایی زاویه‌ای است که توسط تمام قسمت‌های پنکه، چه در لبه و چه در نزدیکی محور، انجام می‌شود.

وقتی پنکه یک دور کامل می‌چرخد، قسمتی از پنکه که روی لبه و قسمتی که نزدیک محور چرخش است به اندازه یک دایره (2) حرکت می‌کنند. اگر شعاع پنکه 20 سانتی‌متر باشد، فاصله بین لبه پنکه و محور چرخش 20 سانتی‌متر است. به عنوان مثال، فاصله بین محور و یک قسمت از پنکه که نزدیک محور است = 1 سانتی‌متر. وقتی پنکه یک دور کامل می‌چرخد، لبه پنکه به صورت دایره‌ای به اندازه (2)(3.14)(20 سانتی‌متر) = 125.6 سانتی‌متر حرکت می‌کند.

در حالی که نقطه واقع در نزدیکی محور به صورت دایره‌ای تا (2)(3.14)(1 سانتی‌متر) = 6.28 سانتی‌متر حرکت می‌کند. 125.6 سانتی‌متر بزرگی جابجایی انجام شده توسط لبه پنکه است،

در حالی که 6.28 سانتی‌متر بزرگی جابجایی انجام شده توسط نقطه‌ای واقع در نزدیکی محور چرخش است. هرچه r کوچکتر باشد، جابجایی کوچکتر است. رابطه بین جابجایی (d) و جابجایی زاویه‌ای (θ) با معادله زیر بیان می‌شود:

θ = d / r

d = r θ

d = جابجایی (متر)، r = شعاع یا فاصله از محور چرخش (متر)، θ = جابجایی زاویه‌ای (رادیان)

نمونه سوال ۱:

یک دیسک CD به شعاع ۵ سانتی‌متر با زاویه ۹۰ درجه دوران می‌کند. جابجایی نقطه‌ای که ۲ سانتی‌متر از محور دوران فاصله دارد چقدر است؟

راه حل:

r = فاصله از محور چرخش = ۲ سانتی‌متر = ۰.۰۲ متر

θ = 90 ^o = 1.57 راد (باید بر حسب رادیان بیان شود)

d = (0.02 متر)(1.57 راد) = 0.03 متر.

جابجایی زاویه‌ای واحد بین‌المللی در سیستم ندارد و بُعدی هم ندارد (بُعد آن ۱ است)، بنابراین در محاسبه‌ی بالا، فقط واحد رادیان را از نتایج محاسبه حذف کنید.

2. سرعت

هنگام چرخش، یک پنکه یا هر شیء چرخان، البته، به یک بازه زمانی خاص نیاز دارد. اگر پنکه در جهت عقربه‌های ساعت بچرخد و به مدت ۱ ثانیه یک دور (۳۶۰ ^{درجه ) بچرخد،}

سپس سرعت زاویه‌ای تمام قسمت‌های پنکه ۱ rev/s = 360 ^o /s = 6.28 rad/s است و جهت سرعت زاویه‌ای همان جهت عقربه ساعت است.

اگر شعاع پنکه ۲۰ سانتی‌متر باشد، لبه پنکه با سرعت ۲(۳.۱۴)(۲۰ سانتی‌متر) / ۱ ثانیه = ۱۲۵.۶ سانتی‌متر بر ثانیه = ۱.۲۵۶ متر بر ثانیه به صورت دایره‌ای حرکت می‌کند. نقطه‌ای که ۱ سانتی‌متر (۰.۰۱ متر) از محور چرخش فاصله دارد، با سرعت ۲(۳.۱۴) (۱ سانتی‌متر) / ۱ ثانیه = ۶.۲۸ سانتی‌متر بر ثانیه = ۰.۰۶۲۸ متر بر ثانیه است. هرچه r کوچکتر باشد، سرعت کمتر است. در حرکت دایره‌ای، سرعت اغلب سرعت مماسی نامیده می‌شود.

رابطه بین سرعت (v) و سرعت زاویه‌ای (ω) با معادله زیر بیان می‌شود:

v = سرعت (m/s)، r = شعاع یا فاصله از محور چرخش (m)، ω = سرعت زاویه‌ای (rad/s)

نمونه سوال ۳:

سرعت عقربه دوم 6.28 راد بر دقیقه = 6.28 راد / 60 ثانیه = 0.1 راد بر ثانیه است. سرعت نقطه‌ای که 2 سانتی‌متر (0.02 متر) از محور چرخش فاصله دارد، چقدر است؟

راه حل:

ω = 0.1 رادیان بر ثانیه، r = 0.02 متر

v = r

ω = (0.02 متر) (0.1 راد بر ثانیه) = 0.002 متر بر ثانیه

رادیان‌ها را از نتایج محاسبه حذف کنید.

3. شتاب

یک نقطه در حال حرکت دایره‌ای اگر اندازه و جهت سرعت تغییر کند، شتاب می‌گیرد. بنابراین، دو نوع شتاب در حرکت دایره‌ای وجود دارد. اول، شتاب مرکزگرا (a _c ) یا شتاب شعاعی (a _r ) که شتاب مرکزگرا نیز نامیده می‌شود. شتاب مرکزگرا به دلیل تغییر در جهت سرعت رخ می‌دهد. جهت شتاب مرکزگرا همیشه به سمت مرکز دایره است.

بزرگی شتاب مرکزگرا برابر است با:

که در آن a _c شتاب مرکزگرا (m/s² ⁾ ، r شعاع یا فاصله از محور چرخش (m)، v سرعت (m/s)، ω سرعت زاویه‌ای (rad/s) است.

دوم، شتاب مماسی (a _t ). شتاب مماسی به دلیل تغییرات در بزرگی سرعت رخ می‌دهد. نقطه‌ای را در لبه پنکه در حال چرخش بررسی کنید. اگر در ابتدا پنکه در حال سکون باشد، نقطه روی لبه پنکه نیز در حال سکون است (v = 0). اگر یک ثانیه بعد، پنکه با سرعت زاویه‌ای 1 rev/s = 360 ^o / s = 6.28 rad/s بچرخد، به طوری که نقطه روی لبه پنکه با سرعت 1.2 متر بر ثانیه به صورت دایره‌ای حرکت کند.

سپس نقطه روی لبه باد پنکه شتاب مماسی ۱.۲ متر بر ثانیه = ۱.۲ متر بر ثانیه ^مربع را تجربه می‌کند.

رابطه بین شتاب مماسی ( _at ) و شتاب زاویه‌ای ( α ) با معادله زیر بیان می‌شود:

که در آن _t = شتاب مماسی (m/s² ⁾ ، r = شعاع یا فاصله از محور چرخش (m)، α = شتاب زاویه‌ای (rad/ ^s² )

رابطه بین دوره تناوب (T) و فرکانس (f) با سرعت و سرعت زاویه‌ای

دوره تناوب، فاصله زمانی یک دور کامل را برای یک جسم بیان می‌کند، در حالی که فرکانس، تعداد دورهای یک ثانیه را بیان می‌کند. رابطه بین دوره تناوب و فرکانس از طریق معادله زیر بیان می‌شود: f = 1/T

واحد سیستم بین‌المللی برای دوره، ثانیه و واحد سیستم بین‌المللی برای فرکانس، ۱/ثانیه (= هرتز) است. سرعت (v) و سرعت زاویه‌ای (ω) ذرات در حال حرکت دایره‌ای را می‌توان بر حسب دوره یا فرکانس بیان کرد.

سرعت (v) ذره در حال حرکت دایره‌ای با معادله زیر بیان می‌شود:

بزرگی سرعت زاویه‌ای (ω) ذرات متحرک دایره‌ای با معادله زیر بیان می‌شود: