حرکت پرتابه

مقاله در مورد حرکت پرتابه و نمونه مسائل به همراه راه حل

سرعت اولیه (v)_o) و مؤلفه سرعت اولیه (v)_ox و v_oy)

جسمی که حرکات سهموی آن همیشه دارای سرعت اولیه است. از آنجا که حرکت سهموی ترکیبی از حرکات در جهت افقی و عمودی است، سرعت اولیه نیز دارای مؤلفه‌های افقی و عمودی است.

اگر جسم مانند شکل‌های ۱ و ۳ به صورت سهموی حرکت کند، سرعت اولیه در جهت افقی (v _ox ) و سرعت اولیه در جهت عمودی (v _oy ) با استفاده از معادله زیر محاسبه می‌شوند:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

اگر جسم مانند شکل ۲ به صورت سهموی حرکت کند، آنگاه v _o = v _ox (v _oy = 0)

سرعت (v)_x و v_y) و موقعیت (x و y)

سرعت در جهت‌های افقی و عمودی در یک بازه زمانی مشخص با استفاده از معادله زیر محاسبه می‌شود:

v _x = v _ox = ثابت ( حرکت خطی یکنواخت )

v _y = v _oy + gt یا v _y ² = v _oy ² + 2 gh (حرکت سقوط آزاد)

موقعیت اجسام در جهت‌های افقی (x) و عمودی (y) در یک بازه زمانی مشخص با استفاده از معادله زیر محاسبه می‌شود:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

برآیند سرعت (v) و مکان (h)

سرعت برآیند در یک بازه زمانی مشخص با استفاده از معادله زیر محاسبه می‌شود:

جهت اجسام در یک بازه زمانی مشخص با استفاده از معادله زیر محاسبه می‌شود:

یادداشت:

۱. مؤلفه افقی حرکت سهموی به عنوان حرکت خطی یکنواخت در نظر گرفته می‌شود، بنابراین vox = vx همیشه ثابت است.

۲. مؤلفه عمودی حرکت سهموی به عنوان حرکت سقوط آزاد در نظر گرفته می‌شود، بنابراین اگر جسم مانند شکل‌های ۱ و ۳ به صورت سهموی حرکت کند، مؤلفه عمودی سرعت جسم در حداکثر ارتفاع صفر است (v _y = 0). اگر یک تیله را به صورت عمودی در حداکثر ارتفاع به سمت بالا پرتاب کنید، جسم قبل از چرخش به سمت پایین، برای لحظه‌ای ساکن است (v _y = 0). بنابراین، سرعت جسم در حال حرکت سهموی در حداکثر ارتفاع = v _x = v _ox

۳. اگر جسم مانند شکل ۲ به صورت سهمی حرکت کند، مؤلفه عمودی حرکت سهمی به عنوان حرکت سقوط آزاد در نظر گرفته می‌شود. اگر جسم مانند شکل‌های ۱ و ۳ به صورت سهمی حرکت کند، مؤلفه عمودی حرکت سهمی به عنوان حرکت عمودی رو به بالا در نظر گرفته می‌شود.

نمونه مشکلات:

۱. گلوله‌ای با سرعت اولیه ۲۰ متر بر ثانیه در جهت افقی شلیک می‌شود. اگر تفنگ ۵ متر بالاتر از سطح زمین باشد، تعیین کنید:

(الف) زمان ماندن در هوا

(ب) حداکثر ارتفاع

(ج) فاصله افقی

د) سرعت گلوله هنگام برخورد به زمین

راه حل:

حرکت در جهت افقی مانند حرکت خطی یکنواخت و حرکت در جهت عمودی مانند حرکت سقوط آزاد تحلیل می‌شود.

شناخته شده:

v _ox = 20 متر بر ثانیه، v _oy = 0 متر بر ثانیه، h = 5 متر، g = 9.8 متر بر ^ثانیه

الف) زمان ماندن در هوا

راه حل به صورت تعیین بازه زمانی (t) در حرکت سقوط آزاد است.

معلوم است: v _oy = 0 متر بر ثانیه، h = 5 متر، g = 9.8 متر بر ^ثانیه

مورد نظر: t

ب) حداکثر ارتفاع

حداکثر ارتفاع = ارتفاع = ۵ متر.

ج) فاصله افقی (د)

راه حل مانند تعیین مسافت در حرکت خطی یکنواخت است

معلوم: v _ox = 20 متر بر ثانیه، t = 1 ثانیه

مورد نظر: د

د = وی تی

d = (20 متر بر ثانیه)(1 ثانیه) = 20 متر

د) سرعت هنگام برخورد گلوله به زمین

vtx = _vox = 20 متر بر _ثانیه

وی _تی = ?

ابتدا سرعت نهایی در جهت عمودی (vty) را محاسبه می کنیم. راه حل مانند تعیین سرعت نهایی حرکت سقوط آزاد است.

معلوم است: v _oy = 0، g = 9.8 متر بر ثانیه ^، t = 1 ثانیه

مورد نظر: وی _{تی وای}

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

vt ₌ (9.8 متر بر ثانیه ⁾ (1 ثانیه)

vt = 9.8 متر بر _ثانیه

سرعت گلوله هنگام برخورد به زمین:

جهت گلوله:

از آنجا که v _tx در جهت محور x مثبت (به سمت راست) و v _ty در جهت محور y منفی (به سمت پایین) است،

جهت گلوله هنگام برخورد به زمین -۲۶.۱ ^درجه نسبت به محور x مثبت است (شکل زیر را ببینید).

۲. توپ گلوله‌ای را با زاویه ۳۰ ^درجه نسبت به افق و سرعت ۶۰ متر بر ثانیه شلیک کرد. تعیین کنید:

(الف) حداکثر ارتفاع

(ب) سرعت گلوله در حداکثر ارتفاع

(ج) زمان ماندن در هوا

(د) فاصله افقی

(ه) سرعت گلوله هنگام برخورد به زمین. فرض کنید زمین صاف است. 🙂

راه حل:

حرکت در جهت افقی مانند حرکت خطی یکنواخت و حرکت در جهت عمودی مانند حرکت عمودی رو به بالا تحلیل می‌شود.

معلوم است: v _o = 60 متر بر ثانیه، تتا = 30 ^درجه.

بر اساس داده‌های شناخته‌شده، ابتدا مؤلفه‌های عمودی (v _oy ) و افقی (v _ox ) سرعت اولیه (v _o ) را محاسبه می‌کنیم.

الف) حداکثر ارتفاع (h)

راه حل مانند تعیین حداکثر ارتفاع در حرکت عمودی رو به بالا است.

شناخته شده:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

الف) حداکثر ارتفاع (h)

راه حل مانند تعیین حداکثر ارتفاع در حرکت عمودی رو به بالا است.

شناخته شده:

v _oy = 30 متر بر ثانیه (این سرعت اولیه گلوله است)

v _ty = 0 متر بر ثانیه (در حداکثر ارتفاع، سرعت عمودی گلوله = 0 متر بر ثانیه است. این سرعت نهایی است.)

g = – 9.8 متر بر ^ثانیه

مورد نظر: ح

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) ساعت

۰ = ۹۰۰ – ۱۹.۶ ساعت

۱۰۰ = ۲۰ ساعت

ساعت = ۱۰۰ / ۲۰

ارتفاع = ۸۰ متر

حداکثر ارتفاعی که گلوله به آن دست یافت = ۴۵.۹ متر.

ب) سرعت در حداکثر ارتفاع

در حداکثر ارتفاع، سرعت در جهت عمودی = 0 متر بر ثانیه است. در حداکثر ارتفاع، تنها سرعت در جهت افقی وجود دارد. سرعت در جهت افقی در حداکثر ارتفاع برابر با سرعت اولیه در جهت افقی است که 52.2 متر بر ثانیه است. جهت سرعت در جهت افقی همیشه ثابت است، یعنی در جهت محور x مثبت (اگر حرکت یک جسم در نمودار بالا شرح داده شده باشد)

ج) زمان در هوا

راه حل مانند تعیین بازه زمانی (t) در بحث حرکت عمودی رو به بالا است.

شناخته شده:

v _oy = 30 متر بر ثانیه (این سرعت اولیه گلوله در جهت عمودی است)

g = – 9.8 متر بر ^ثانیه

h = 0 متر (هنگامی که گلوله به زمین برمی‌گردد، جابجایی گلوله در جهت عمودی = 0 متر)

مورد نظر: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 متر بر ثانیه ⁾ t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

۲.۵ = ۵ تن

تی = 30 / 4.9

t = 6.12 ثانیه

زمان در هوا = ۶.۱۲ ثانیه

د) فاصله افقی (d)

راه حل مانند تعیین مسافت (d) روی حرکت خطی یکنواخت است.

شناخته شده:

v _ox = 52.2 متر بر ثانیه

t = 6.12 ثانیه

مورد نظر: د

d = vt = (52.2 متر بر ثانیه) (6.12 ثانیه) = 319.5 متر

ه) سرعت هنگام برخورد گلوله به زمین

vtx = _vox = 52.2 متر بر _ثانیه

وی _تی = ?

ابتدا، سرعت نهایی را در جهت عمودی (v _ty ) محاسبه می‌کنیم. راه حل، تعیین سرعت نهایی در حرکت عمودی به سمت بالا است.

مورد نظر: v _oy = 30 متر بر ثانیه، g = -9.8 متر بر ثانیه ^مربع ، t = 6.12 ثانیه

مورد نظر: وی _{تی وای}

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 متر بر ثانیه

علامت منفی نشان دهنده این است که جهت سرعت نهایی رو به پایین است. توجه داشته باشید که سرعت اولیه در جهت عمودی با سرعت نهایی در جهت عمودی برابر است.

سرعت گلوله هنگام برخورد به زمین:

جهت گلوله:

از آنجا که v _tx در جهت محور x مثبت (به سمت راست) و vty در جهت محور y منفی (به سمت پایین) است،

جهت سرعت گلوله هنگام برخورد به زمین -30 ^درجه حول محور x مثبت است (شکل زیر را ببینید).

۳. توپی از لبه یک ساختمان به ارتفاع ۵۰ متر با سرعت اولیه ۱۰ متر بر ثانیه پرتاب می‌شود. اگر توپ با زاویه ۳۰ درجه نسبت به افق پرتاب شود، تعیین کنید:

الف) فاصله زمانی رسیدن توپ به زمین

ب) سرعت توپ هنگام برخورد به زمین

(ج) فاصله افقی که توپ می‌تواند به آن برسد از لبه ساختمان اندازه‌گیری می‌شود

(د) حداکثر ارتفاعی که توپ به آن می‌رسد

راه حل:

ابتدا، مؤلفه عمودی (v _oy ) و مؤلفه افقی (v _ox ) سرعت اولیه (v _o ) را محاسبه می‌کنیم.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 متر بر ثانیه)(0.87) = 8.7 متر بر ثانیه

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 متر بر ثانیه)(0.5) = 5 متر بر ثانیه

الف) فاصله زمانی رسیدن توپ به زمین

راه حل مانند تعیین بازه زمانی (t) در یک حرکت عمودی به سمت بالا است. بزرگی برداری که جهت آن به سمت بالا است مثبت و بزرگی برداری که جهت آن به سمت پایین است منفی انتخاب می‌شود. موقعیت توپ که در آن پرتاب می‌شود به عنوان نقطه مرجع انتخاب می‌شود. h منفی است زیرا سطح زمین زیر نقطه مرجع است، g منفی است زیرا جهت شتاب گرانش به سمت پایین است.

شناخته شده:

v _oy = 5 متر بر ثانیه، h = – 5 متر، g = – 9.8 متر بر ^ثانیه

مورد نظر: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 تن + ½ (-9.8) تن ²

-۵ = ۵ تن – ۴.۹ تن ^۲

-۴.۹ ت ^۲ + ۵ ت + ۵ = ۰

از فرمول مربع استفاده کنید:

زمان در هوا = فاصله زمانی از پرتاب توپ تا رسیدن به زمین = ۱.۶۴ ثانیه

ب) سرعت توپ هنگام برخورد به سطح زمین

vtx = _vox = vx ₌ 8.7 متر بر _ثانیه

وی _تی = ?

ابتدا، سرعت نهایی را در جهت عمودی (v _ty ) محاسبه می‌کنیم. راه حل مانند تعیین سرعت نهایی در حرکت عمودی به سمت بالا است.

شناخته شده: v _oy = 5 متر بر ثانیه، g = -9.8 متر بر ثانیه ^مربع ، t = 1.64 ثانیه

مورد نظر: وی _{تی وای}

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 متر بر ثانیه

علامت منفی نشان می‌دهد که جهت سرعت نهایی رو به پایین است.

سرعت گلوله هنگام برخورد به زمین:

جهت سرعت گلوله = جهت حرکت گلوله هنگام برخورد به زمین:

سرعت گلوله هنگام برخورد به زمین:

از آنجا که vtx در جهت محور x مثبت (به سمت راست) و vty در جهت محور y منفی (به سمت پایین) است،

جهت گلوله هنگام برخورد به زمین -52 درجه حول محور x مثبت است (شکل زیر را ببینید).

ج) فاصله افقی که توپ می‌تواند به آن برسد از لبه ساختمان اندازه‌گیری می‌شود.

راه حل مانند تعیین مسافت طی شده (d) در حرکت خطی یکنواخت است.

معلوم: t = 1.64 ثانیه، v _x = 8.7 متر بر ثانیه

مورد نظر: د

d = vt = (8.7 متر بر ثانیه)(1.64 ثانیه) = 14.3 متر

د) حداکثر ارتفاعی که توپ به آن می‌رسد

معلوم است: v _oy = 5 m/s، v _ty = 0 m/s ( مولفه عمودی سرعت در حداکثر ارتفاع = 0 m/s)، g = -9.8 m/ ^s².

مورد نظر: ح

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 متر بر ثانیه = (5 متر بر ثانیه) ^² + ² (-9.8 متر بر ثانیه ⁾ (ساعت)

0 متر بر ثانیه = 25 (متر بر ثانیه) ^² + (-19.6 متر بر ثانیه ) ^² (ساعت)

25 (متر بر ثانیه) ^² = -19.6 متر بر ثانیه (ساعت)

h = 25 (متر بر ثانیه) ^{^ 2} : -19.6 متر بر ثانیه ^ ² = 1.3 متر

حداکثر ارتفاعی که توپ به آن می‌رسد = ۱.۳ متر بالاتر از بالای ساختمان = ۱.۳ متر + ۵۰ متر = ۵۱.۳ متر بالاتر از سطح زمین.