پایستگی انرژی مکانیکی روی سطوح منحنی - مسائل و راه‌حل‌ها
۱. اگر سرعت توپ در نقطه A برابر با ۶ متر بر ثانیه باشد، سرعت توپ در نقطه B برابر با √۹۲ متر بر ثانیه و شتاب گرانش g = ۱۰ متر بر ثانیه مربع است . ارتفاع نقطه B (ساعت) چقدر است؟
شناخته شده:
سرعت توپ در نقطه A (v)A) = 6 متر بر ثانیه
سرعت توپ در نقطه B (vB ) = √۹۲ متر بر ثانیه
شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ثانیه
ارتفاع A (h A ) = 5.6 متر
ارتفاع B (h B ) = h
مورد نظر: ارتفاع نقطه B (h)
راه حل :
انرژی مکانیکی اولیه = انرژی پتانسیل گرانشی
در نقطه A، سرعت توپ = ۰ است، بنابراین انرژی جنبشی توپ = ۰. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
توپ در ارتفاع ۵.۶ متری قرار دارد، بنابراین توپ انرژی پتانسیل گرانشی دارد. انرژی پتانسیل گرانشی : PE = mgh = m (10)(5.6) = 5.6 m
انرژی مکانیکی اولیه = انرژی پتانسیل گرانشی + انرژی جنبشی = ۵۶ متر + ۰ = ۵۶ متر
انرژی مکانیکی نهایی = انرژی پتانسیل گرانشی + انرژی جنبشی
در نقطه B، ارتفاع توپ h است. انرژی پتانسیل گرانشی: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
انرژی جنبشی توپ: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
انرژی مکانیکی نهایی = انرژی پتانسیل گرانشی + انرژی جنبشی = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
اصل پایستگی انرژی مکانیکی:
انرژی مکانیکی اولیه = انرژی مکانیکی نهایی
۵۶ متر = متر (۱۰ ساعت + ۴۶)
۵۶ = ۱۰ ساعت + ۴۶
۵۶ – ۴۶ = ۱۰ ساعت
۱۰۰ = ۲۰ ساعت
ساعت = ۸۰/۱۰
ارتفاع = ۸۰ متر
2.
اگر سرعت اولیه = ۰ و شتاب گرانش = ۱۰ متر بر ثانیه مربع باشد، سرعت در ارتفاع B چقدر است؟
شناخته شده:
سرعت اولیه (v o ) = 0
ارتفاع اولیه (h o ) = 50 متر – 10 متر = 40 متر
ارتفاع نهایی (h t ) = 0
شتاب گرانش (g) = 10 ms -2
مورد نظر: سرعت نهایی (v t )
راه حل :
تغییر انرژی جنبشی:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 - v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 - 0) = 1/2 mv t 2
تغییر انرژی پتانسیل:
ΔPE = میلی‌گرم (ساعت - ساعت ) = متر مکعب (10)(0-40) = متر مکعب (10)(-40) = – 400 متر مکعب
سرعت نهایی (v t ) را با استفاده از معادله اصل پایستگی انرژی مکانیکی محاسبه کنید :
۰ = ΔKE + ΔPE
۰ = ۱/۲ میلی ولت تی ۲ – ۴۰۰ متر
۱/۲ میلی ولت تی ۲ = ۴۰۰ متر
۱/۲ ولت تی ۲ = ۴۰۰
vt2 = 2 (400 )
vt = √(400)(2)
vt = 20√2 متر بر ثانیه
- منظور از «پایستگی انرژی مکانیکی» چیست؟
- پاسخ: پایستگی انرژی مکانیکی به این معنی است که کل انرژی مکانیکی (مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل) یک سیستم ایزوله، اگر فقط نیروهای پایستار، مانند گرانش، بر آن عمل کنند، ثابت می‌ماند.
- چگونه جسمی که روی یک سطح منحنی حرکت می‌کند (مانند توپی که از روی یک سطح شیب‌دار منحنی پایین می‌غلتد) انرژی مکانیکی خود را حفظ می‌کند؟
- پاسخ: همچنان که جسم روی سطح منحنی حرکت می‌کند، انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود، اما با فرض اینکه هیچ نیروی غیرپایستاری (مانند اصطکاک) کار انجام نمی‌دهد، کل انرژی مکانیکی ثابت می‌ماند.
- اگر توپی از حالت سکون در بالای یک سطح شیب‌دار منحنی رها شود، انرژی جنبشی آن هنگام حرکت به سمت پایین سطح شیب‌دار چگونه تغییر می‌کند؟
- پاسخ: انرژی جنبشی توپ با حرکت به سمت پایین سطح شیب‌دار افزایش می‌یابد، زیرا انرژی پتانسیل آن کاهش یافته و به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود.
- در غیاب اصطکاک، سرعت یک توپ در پایین یک سرسره منحنی در مقایسه با یک سرسره مستقیم با همان ارتفاع چگونه خواهد بود؟
- پاسخ: سرعت توپ در پایین، برای هر دو حالت سر خوردن منحنی و مستقیم یکسان خواهد بود، زیرا تبدیل انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی فقط به ارتفاع عمودی بستگی دارد، نه به مسیر طی شده.
- چرا ممکن است یک توپ پس از پایین آمدن از ارتفاع مشخصی، هنگام غلتیدن روی یک سطح شیب‌دار منحنی به ارتفاع اولیه خود نرسد؟
- پاسخ: اگر نیروهای غیرپایستار مانند اصطکاک بر توپ وارد شوند، آنها در خلاف جهت حرکت کار انجام می‌دهند و مقداری از انرژی مکانیکی توپ را به اشکال دیگر مانند گرما تبدیل می‌کنند. در نتیجه، توپ ممکن است انرژی کافی برای رسیدن به ارتفاع اولیه خود را نداشته باشد.
- اگر دو جسم با شکل‌های مختلف (مثلاً یک کره و یک مکعب) از یک ارتفاع یکسان و بدون غلتیدن، از یک سطح شیب‌دار منحنی به پایین بلغزند، آیا در پایین‌ترین نقطه سرعت یکسانی خواهند داشت؟ چرا؟
- پاسخ: بله، آنها در پایین‌ترین نقطه سرعت یکسانی خواهند داشت. با فرض عدم غلتش و اصطکاک، تنها عامل تعیین‌کننده سرعت آنها، پایستگی انرژی بر اساس ارتفاع اولیه است، نه شکل آنها.
- انحنای یک سطح چگونه بر نیروی عمودی وارد بر جسمی که در امتداد آن حرکت می‌کند، تأثیر می‌گذارد؟
- پاسخ: انحنا باعث می‌شود که جهت نیروی عمودی با حرکت جسم تغییر کند. روی یک سطح مقعر به سمت بالا (مانند داخل یک کاسه)، نیروی عمودی در پایین به دلیل نیروی مرکزگرای مورد نیاز برای حرکت منحنی، بیشتر است. برعکس، روی یک سطح محدب، نیروی عمودی می‌تواند در بالاترین نقطه کاهش یابد یا حتی صفر شود (جسم از سطح خارج می‌شود).
- شعاع انحنا چه نقشی در پایستگی انرژی مکانیکی روی یک سطح منحنی دارد؟
- پاسخ: شعاع انحنا به خودی خود مستقیماً بر پایستگی انرژی مکانیکی تأثیر نمی‌گذارد. با این حال، می‌تواند بر نیروی عمودی و در صورت وجود اصطکاک، بر میزان انرژی از دست رفته در اثر نیروهای غیرپایستار تأثیر بگذارد.
- اگر یک مسیر در وسط خود دارای یک فرورفتگی باشد (مانند یک منحنی U شکل)، انرژی مکانیکی یک جسم هنگام عبور از آن فرورفتگی و رسیدن به سمت دیگر چگونه تغییر می‌کند؟
- پاسخ: انرژی پتانسیل جسم با حرکت به داخل فرورفتگی کاهش و انرژی جنبشی آن افزایش می‌یابد. با حرکت به سمت بالا در طرف دیگر، انرژی جنبشی آن کاهش و انرژی پتانسیل آن افزایش می‌یابد. اگر فقط نیروهای پایستار عمل کنند، کل انرژی مکانیکی در طول حرکت ثابت می‌ماند.
- آیا یک جسم می‌تواند هنگام حرکت روی یک سطح منحنی، هم انرژی جنبشی انتقالی و هم انرژی جنبشی چرخشی داشته باشد؟
- پاسخ: بله، اگر جسمی مانند یک توپ (بدون لغزش) روی یک سطح منحنی بغلتد، به دلیل حرکت مرکز جرمش، انرژی جنبشی انتقالی و به دلیل چرخش حول محورش، انرژی جنبشی چرخشی خواهد داشت.
