فنرهای سری و موازی - مشکلات و راه حل ها
۱. یک جسم ۱۶۰ گرمی به یک انتهای فنر متصل است و تغییر طول فنر ۴ سانتیمتر است. تغییر طول سه فنر که به صورت سری و موازی به هم متصل شدهاند ، مطابق شکل زیر، چقدر است؟
شناخته شده:
تغییر طول فنر (Δx) = 4 سانتیمتر = 0.04 متر
جرم (متر) = 160 گرم = 0.16 کیلوگرم
شتاب گرانش (g) = 10 متر بر مجذور ثانیه
وزن (w) = میلیگرم = (0.16)(10) = 1.6 نیوتن
مورد نظر: تغییر طول سه فنر (Δx)
راه حل :
معادله قانون هوک :
k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 نیوتن بر متر
سه فنر دارای ثابت یکسانی هستند، k = 40 N/m.
ثابت معادل را تعیین کنید:
فنر ۲ (k2 ) و فنر ۳ (k3 ) به صورت موازی به هم متصل شدهاند. ثابت معادل:
ک ۱۲ = ک ۱ + ک ۲ = ۵۰ + ۵۰ = ۱۰۰ نیوتن بر متر
فنر ۳ (k1 ) و فنر ۱۲ (k23 ) به صورت سری به هم متصل شدهاند. ثابت معادل:
۱/k = ۱/k ۳ + ۱/k ۱۲ = ۱/۳۰۰ + ۱/۶۰۰ = ۲/۶۰۰ + ۱/۶۰۰ = ۳/۶۰۰
ک = ۲۰۰/۵
تغییر طول سه فنر را تعیین کنید:
Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 متر = 6 سانتی متر
۲. سه فنر با ثابت یکسان که به صورت سری و موازی به هم متصل شدهاند ، و یک جسم ۲ کیلوگرمی که در یک انتهای فنر متصل است، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است. ثابت فنر k1 = k2 = k3 = 300 N/m است . تغییر طول سه فنر چقدر است؟ شتاب ناشی از گرانش g = 10 ms -2 است.
شناخته شده:
ثابت فنر k1 = ک2 = ک3 = ۳۰۰ نیوتن متر-1
شتاب گرانش (g) = 10 ms -2
جرم جسم (متر) = ۵ کیلوگرم
وزن جسم (w) = میلیگرم = (2)(10) = 20 نیوتن
مورد نظر: تغییر طول سه فنر (Δx)
راه حل :
ثابت معادل را تعیین کنید:
فنر ۱ (k1 ) و فنر ۲ (k2 ) به صورت موازی به هم متصل شدهاند. ثابت معادل:
ک ۱۲ = ک ۱ + ک ۲ = ۵۰ + ۵۰ = ۱۰۰ نیوتن بر متر
فنر ۳ (k3 ) و فنر ۱۲ (k12 ) به صورت سری به هم متصل شدهاند. ثابت معادل:
۱/k = ۱/k ۳ + ۱/k ۱۲ = ۱/۳۰۰ + ۱/۶۰۰ = ۲/۶۰۰ + ۱/۶۰۰ = ۳/۶۰۰
k = 600/3 = 200 نیوتن بر متر
تغییر طول سه فنر را تعیین کنید:
Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 متر
۳. سه فنر به صورت سری و موازی، مطابق شکل زیر، به هم متصل شدهاند. اگر ثابت فنر k = 50 Nm -1 باشد و جرمی به وزن ۴۰۰ گرم به یک انتهای فنر متصل باشد، تغییر طول سه فنر چقدر است؟
شناخته شده:
ثابت فنر ۳ (k)1) = k = 50 نیوتن متر-1
ثابت فنر ۲ (k^ 2 ) = k = 50 نیوتن متر -1
ثابت فنر ۳ (k⁻¹ ) = ۲k = ۲ (۵۰ نیوتن متر -۱ ) = ۱۰۰ نیوتن متر -۱
جرم جسم (متر) = ۴۰۰ گرم = ۰.۴ کیلوگرم
شتاب گرانش (g) = 10 متر بر ثانیه
وزن جسم (w) = میلیگرم = (0.4)(10) = 4 نیوتن
مورد نظر: تغییر طول (Δx)
راه حل :
ثابت معادل را تعیین کنید:
فنر ۱ (k1 ) و فنر ۲ (k2 ) به صورت موازی به هم متصل شدهاند. ثابت معادل:
ک ۱۲ = ک ۱ + ک ۲ = ۵۰ + ۵۰ = ۱۰۰ نیوتن بر متر
فنر ۳ (k3 ) و فنر ۱۲ (k12 ) به صورت سری به هم متصل شدهاند. ثابت معادل:
۱/k = ۱/k ۳ + ۱/k ۱۲ = ۱/۱۰۰ + ۱/۱۰۰ = ۲/۱۰۰
k = 100/2 = 50 نیوتن بر متر
تغییر طول سه فنر را تعیین کنید:
Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 متر = 8 سانتی متر
- ترکیب فنرها به صورت سری چه تاثیری بر ثابت کلی فنر دارد؟
- پاسخ: وقتی فنرها به صورت سری ترکیب میشوند، ثابت کلی فنر کاهش مییابد. معکوس ثابت فنر معادل، مجموع معکوسهای ثابتهای فنر به صورت جداگانه است: 1/k .
- وقتی فنرها به صورت موازی ترکیب میشوند، ثابت کلی فنر چگونه تغییر میکند؟
- پاسخ: ترکیب فنرها به صورت موازی منجر به یک ثابت کلی فنر میشود که برابر با مجموع ثابتهای تک تک فنرها است: k .
- اگر دو فنر یکسان به صورت سری قرار گیرند، ثابت فنر ترکیبی در مقایسه با ثابت فنر یک فنر منفرد چگونه است؟
- پاسخ: ثابت فنر ترکیبی، نصف ثابت فنر یکی از فنرهای تکی خواهد بود.
- وقتی نیرویی به فنرهای سری وارد میشود، چه اتفاقی برای انبساط یا انقباض آنها میافتد؟
- پاسخ: برای فنرهای سری، نیروی یکسانی باعث میشود هر فنر کشیده یا فشرده شود، اما کل کشیدگی (یا فشردگی) برابر با مجموع کشیدگی (یا فشردگی) فنرهای منفرد است.
- اگر فنرهای موازی تحت تأثیر نیرو قرار گیرند، آن نیرو چگونه توزیع میشود؟
- پاسخ: برای فنرهای موازی، نیرو بر اساس ثابت فنر بین فنرها توزیع میشود. فنرهایی که ثابت فنر بالاتری دارند، نسبت به فنرهایی که ثابت فنر کمتری دارند، بخش بیشتری از نیرو را تحمل میکنند.
- چرا میتوان فنرهای یک سری را به عنوان یک فنر واحد با طول بیشتر در نظر گرفت؟
- پاسخ: فنرهای سری اثر ترکیبی معادل کشش یک فنر بلندتر دارند. کشیدگی یا فشردگی فنرهای منفرد با هم جمع میشوند، درست همانطور که در یک فنر بلندتر منفرد اتفاق میافتد.
- انرژی پتانسیل ذخیره شده در فنرهای سری در مقایسه با فنرهای موازی برای نیروی اعمال شده یکسان چگونه است؟
- پاسخ: فنرهای سری در مقایسه با فنرهای موازی، در نیروی اعمال شده یکسان، انرژی پتانسیل بیشتری ذخیره میکنند، زیرا در مجموع، کشش یا فشردگی بیشتری را متحمل میشوند.
- اگر یکی از فنرها در یک پیکربندی موازی بشکند یا بیاثر شود، چه اتفاقی برای رفتار کلی سیستم میافتد؟
- پاسخ: اگر یکی از فنرها در پیکربندی موازی بشکند، فنرهای باقی مانده همچنان کار خواهند کرد. با این حال، ثابت فنر کلی سیستم کاهش مییابد و سیستم قادر نخواهد بود به اندازه قبل نیروی بازگرداننده اعمال کند.
- چرا فنرهای سری در نیروی اعمالی یکسان، نسبت به فنرهای موازی، مستعد تغییر شکلهای بزرگتری هستند؟
- پاسخ: برای فنرهای سری، نیروی یکسانی بر هر فنر وارد میشود و باعث میشود هر کدام منبسط یا منقبض شوند. تغییر شکل کل، مجموع تغییر شکلهای منفرد است. به طور موازی، نیرو بین فنرها توزیع میشود، بنابراین هر کدام نیروی مؤثر کمتری را تجربه میکنند که منجر به تغییر شکلهای منفرد کوچکتری میشود.
- در کاربردهای عملی، چرا مهندسان ممکن است ترجیح دهند از فنرها به صورت موازی به جای سری استفاده کنند؟
- پاسخ: مهندسان ممکن است فنرها را به صورت موازی انتخاب کنند تا به ثابت فنر کلی بالاتری دست یابند که منجر به رفتار سفتتر میشود. این چیدمان همچنین میتواند افزونگی ایجاد کند؛ اگر یک فنر از کار بیفتد، سیستم به کار خود ادامه میدهد، البته با ثابت فنر کلی کاهش یافته.
