دینامیک حرکات چرخشی - مسائل و راه حل ها

دینامیک حرکات چرخشی - مسائل و راه حل ها

۱. قرقره‌ای با گشتاور اینرسی I = 2/5 MR ² دارای جرم ۲ کیلوگرم است. اگر گشتاور نیرو روی قرقره ۴ نیوتن متر باشد، شتاب خطی قرقره چقدر است؟ شتاب ناشی از گرانش g = 10 ms ^-2 است.

شناخته شده :

گشتاور اینرسی قرقره (I) = 2/5 MR ²

جرم قرقره (M) = 2 کیلوگرم

گشتاور نیرو (τ) = ۴ نیوتن متر

شتاب گرانش (g) = 10 ms ^-2

شعاع قرقره (R) = 20 سانتی‌متر = 0.2 متر

مورد نظر: شتاب خطی (a)

راه حل :

گشتاور اینرسی قرقره (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 کیلوگرم بر متر ^مربع

شتاب زاویه‌ای (α):

τ = من α

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 راد.s ^-2

شتاب خطی (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 میلی‌ثانیه ^-2

شتاب خطی لبه قرقره 25 میلی ثانیه ^{بر مجذور ثانیه} است.

۲. شتاب قرقره ۲ ms ^-۲ است . شتاب ناشی از گرانش g = ۱۰ ms ^-۲ است . گشتاور اینرسی قرقره چقدر است؟

شناخته شده:

شتاب خطی لبه قرقره (a) = 2 میلی‌ثانیه^-2

شتاب گرانش (g) = 10 ms ^-2

شعاع قرقره (R) = 10 سانتی‌متر = 0.1 متر

وزن جسم (w) = میلی‌گرم = (4)(10) = 40 نیوتن

مورد نظر: گشتاور اینرسی قرقره

راه حل :

گشتاور نیرو (τ):

τ = FR = w R = (40) (0.1) = 4 نیوتن متر

شتاب زاویه‌ای قرقره (α):

a = R α

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

گشتاور اینرسی قرقره (I):

τ = من α

I = τ/α = 4/20 = 0.2 کیلوگرم بر متر ^مربع

۳. قرقره با سرعت ۱ میلی‌ثانیه بر ^{مجذور ثانیه} شتاب گرفت . اگر شعاع قرقره ۱۰ سانتی‌متر باشد، گشتاور اینرسی قرقره چقدر است؟

شناخته شده:

شتاب خطی لبه قرقره (a) = 1 میلی‌ثانیه^-2

شتاب گرانش (g) = 10 ms ^-2

شعاع قرقره (R) = 10 سانتی‌متر = 0.1 متر

نیرو (F) = 4 نیوتن

مورد نظر: گشتاور اینرسی قرقره

راه حل :

گشتاور نیرو (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 نیوتن متر

شتاب زاویه‌ای قرقره (α):

a = R α

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

گشتاور اینرسی قرقره (I):

τ = من α

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 کیلوگرم متر ^مربع

1. معادل چرخشی جرم در حرکت خطی چیست؟
   • پاسخ: معادل چرخشی جرم در حرکت خطی، گشتاور اینرسی است که اغلب با نشان داده می‌شود. $I$.
2. گشتاور چه ارتباطی با حرکت چرخشی دارد و در مقایسه با نیرو در حرکت خطی چگونه است؟
   • پاسخ: گشتاور معادل چرخشی نیرو است. در حالی که نیرو باعث شتاب خطی در اجسام می‌شود، گشتاور باعث شتاب زاویه‌ای در اجسام چرخان می‌شود. گشتاور به صورت حاصلضرب نیروی اعمال شده در فاصله عمودی از محور چرخش تا نقطه اعمال نیرو محاسبه می‌شود.
3. چه رابطه‌ای بین شتاب زاویه‌ای، گشتاور و گشتاور اینرسی وجود دارد؟
   • پاسخ: این رابطه توسط قانون دوم نیوتن برای چرخش داده شده است: $\tau =I\alpha$، که در آن $\tau$ گشتاور است، $I$ گشتاور اینرسی است، و $\alpha$ شتاب زاویه‌ای است.
4. اگر گشتاور اینرسی یک جسم چرخان افزایش یابد در حالی که گشتاور خارجی ثابت بماند، شتاب زاویه‌ای چه تغییری می‌کند؟
   • پاسخ: اگر گشتاور اینرسی افزایش یابد و گشتاور خارجی ثابت بماند، شتاب زاویه‌ای کاهش می‌یابد.
5. مفاهیم تکانه خطی و تکانه زاویه‌ای چگونه در حرکت خطی و چرخشی مشابه هستند؟
   • پاسخ: تکانه خطی (داده شده توسط) $p=mv$، که در آن $m$ جرم است و $v$ سرعت است) حاصلضرب جرم و سرعت خطی است، در حالی که تکانه زاویه‌ای (که توسط ... داده می‌شود) $L=I\omega$، که در آن $I$ گشتاور اینرسی است و $\omega$ سرعت زاویه‌ای است) حاصلضرب گشتاور اینرسی و سرعت زاویه‌ای است.
6. منظور از پایستگی تکانه زاویه‌ای چیست؟
   • پاسخ: قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای بیان می‌کند که در غیاب گشتاورهای خارجی، کل تکانه زاویه‌ای یک سیستم بسته ثابت می‌ماند.
7. چرا اسکیت‌بازان وقتی در حین چرخش دست‌هایشان را جمع می‌کنند، سریع‌تر می‌چرخند؟
   • پاسخ: وقتی اسکیت‌بازان نمایشی دست‌هایشان را جمع می‌کنند، گشتاور اینرسی خود را کاهش می‌دهند. به دلیل پایستگی تکانه زاویه‌ای، وقتی گشتاور اینرسی کاهش می‌یابد، سرعت زاویه‌ای (یا نرخ چرخش) باید افزایش یابد تا تکانه زاویه‌ای ثابت بماند.
8. انرژی جنبشی چرخشی یک جسم در مقایسه با انرژی جنبشی خطی آن چگونه است؟
   • پاسخ: انرژی جنبشی چرخشی (با رابطه ۱/۲ داده شده است) ​Iω²) مشابه انرژی جنبشی خطی است (که با 1/2 داده شده است) ​mv²). اولی با چرخش یک جسم و دومی با حرکت خطی آن مرتبط است.
9. آیا یک جسم می‌تواند همزمان انرژی جنبشی چرخشی و خطی داشته باشد؟
   • پاسخ: بله، یک جسم می‌تواند هم انرژی جنبشی چرخشی و هم انرژی جنبشی خطی داشته باشد. برای مثال، یک چرخ غلتان به دلیل چرخش خود انرژی جنبشی چرخشی و به دلیل حرکت رو به جلوی خود انرژی جنبشی خطی دارد.
10. اگر شعاع یک چرخ دوار دو برابر شود در حالی که سرعت زاویه‌ای آن ثابت می‌ماند، گشتاور اینرسی آن چگونه تغییر می‌کند؟

• پاسخ: گشتاور اینرسی یک دیسک جامد با 1/2 داده می‌شود. ​mr²، که در آن $m$ جرم است و $r$ شعاع است. اگر شعاع دو برابر شود و جرم ثابت بماند، گشتاور اینرسی چهار برابر افزایش می‌یابد.