Inertzia uneak

1. Partikularen inertzia-momentua

Berrikusi biraka ari den partikula bat. M masa duen partikulari F indarra ematen zaio, O ardatzaren inguruan biratu dadin. Partikula biraketa-ardatzetik r distantziara dago. Lehenik eta behin, partikula geldirik dago (v = 0). F indarraren bidez mugitu ondoren, partikulak abiadura jakin batekin mugitzen dira, azelerazio tangentziala izan dezaten. Indarraren (F), masaren (m) eta partikulen azelerazio tangentzialaren arteko erlazioa 3. ekuazioaren bidez adierazten da:

F = ma _tan (3. ekuazioa)

Partikulak biratzen dira, azelerazio angeluarra izan dezaten. Azelerazio tangentzialaren eta azelerazio angeluarraren arteko erlazioa 4. ekuazioaren bidez adierazten da:

a _tan = r α (4. ekuazioa)

Ordezkatu 3. ekuazioko a 4. ekuazioko a-rekin:

F = mr α

r F = ^mr² α

τ = (mr² ⁾ α (5. ekuazioa)

r F indar-momentua da eta mr ² partikularen inertzia-momentua. 5. ekuazioak biraka ari diren partikulen indar-momentuaren, inertzia-momentuaren eta azelerazio angeluarraren arteko erlazioa adierazten du. 5. ekuazioa biraka ari diren partikulentzako Newtonen bigarren legearen ekuazioa da.

Partikula baten inertzia-momentua partikularen masaren (m) eta partikulen arteko distantziaren karratuaren eta errotazio-ardatzaren (r2) biderkadura ^da.

I = mr2 ⁽ 6. ekuazioa)

I = partikularen inertzia-momentua, m = partikularen masa, r = partikularen eta errotazio-ardatzaren arteko distantzia. 6. ekuazioa erabiltzen da partikula baten inertzia-momentua zehazteko.

3.2 Partikularen inertzia-momentuaren lagin-problemak

1. arazoaren adibidea.

2 kg-ko masa duen partikula bat 0.5 metroko luzera duen soka bati lotu eta gero biratu egin zen. Zein da partikulen inertzia-momentua biraka ari direnean?

Irtenbidea:

Ni = ^{2. jauna}

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg ^m²

2. arazoaren adibidea.

Bi partikula, bakoitza 2 kg eta 4 kg-ko masa duena, hari arin batez lotuta daude, non hariaren luzera 2 metrokoa den. Ez egin kasurik harien masari. Zehaztu bi partikulen inertzia-momentua, baldin eta:

a) Errotazio-ardatza bi partikulen artean dago

Irtenbidea:

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Errotazio-ardatza 2 kg-ko masa duen partikulatik 0.5 metrora dago.

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Errotazio-ardatza 4 kg-ko masa duen partikulatik 0.5 metrora dago.

I ⁼ _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(1.52) + (4)( ^0.5² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Goiko kalkuluen emaitzetan oinarrituta, inertzia-momentua biraketa-ardatzaren kokapenak eragin handia du. Biraketa-ardatzaren kokapena desberdina delako forma eta tamaina berdinak diren arren, inertzia-momentua ere desberdina da.

Errotazio-ardatzaren ondoan dauden partikulek inertzia-momentu txikiagoa dute, errotazio-ardatzetik urrun dauden partikulek, berriz, inertzia-momentu handiagoa. Goiko bi partikulak objektu zurrunak direla suposatzen badugu, orduan partikula bakoitza errotazio-ardatzaren ondoan dago.

errotazio-ardatzetik urrunago dagoen partikularen inertzia-momentua baino inertzia-momentu txikiagoa du.

3.3 Gorputz zurrun homogeneo baten inertzia-momentua

Objektu zurrunak partikula askoz osatuta daude. Gorputz zurrun baten inertzia-momentua objektua eraikitzen duen partikula bakoitzaren inertzia-momentu kopuru osoa da.

I = Σ ^mr2

Ni = m₁ r₁² + m₂ r₂² + m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Objektu zurrun baten inertzia-momentua zehazteko, objektua biratzen ari denean berrikusi behar dugu, errotazio-ardatzaren kokapenak objektuaren inertzia-momentuan eragina baitu. Partikula bakoitzaren inertzia-momentua (I) partikularen masaren (m) eta partikularen eta errotazio-ardatzaren arteko distantziaren karratuaren (r2) araberakoa da ^. Objektua osatzen duten partikula guztien masa objektuaren masa da.

Arazoa da partikula bakoitzaren eta errotazio-ardatzaren arteko distantzia aldatu egiten dela.

Berrikusi R hatzak eta M masa dituen eraztun mehe baten inertzia-momentuaren formularen murrizketa.

Errotazio-ardatza eraztunaren erdian badago, eraztun meheko partikula guztiak errotazio-ardatzetik kokatzen dira. Eraztun mehe baten inertzia-momentua partikula guztien inertzia-momentuaren berdina da:

I = Σ mr²

Ni = m₁ r₁² + m₂ r₂² + m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Partikula guztien masa = eraztun mehearen masa (M)

_I = M ( _r₁₂ + ^{r₂₂ +} _r₃₂ + ^… + _r₂₂ ⁾

Eraztun mehearen partikula bakoitza biraketa-ardatzetik r-ra dago, beraz, r1 ₌ r2 ₌ r3 ₌ rn = R da.

Eraztun mehearen inertzia-momentuaren ekuazioa:

I = ^MR2

I = eraztun mehearen inertzia-momentua, M = eraztun mehearen masa, R = eraztun mehearen erradioa.

Zer gertatzen da biraketa-ardatza eraztunaren erdian ez badago kokatuta? Biraketa-ardatza eraztunaren erdian ez badago kokatuta, eraztun mehearen inertzia-momentuaren formula ezin da goiko metodoa erabiliz lortu,

partikula bakoitzaren eta biraketa-ardatzaren arteko distantzia desberdina delako. Inertzia-momentuaren formula deribatzea ez da gai honetan aztertzen horrelako problema baterako.

Objektu zurrun batzuen inertzia-momentuaren formula

3.4 Gorputz zurrun homogeneo baten inertzia-momentuaren lagin-problema

1. arazoaren adibidea:

AB zilindro-barrak 3 kg-ko masa du B-tik biratzen denean,

inertzia-momentua 27 kg m ² da . Zein da inertzia-momentua baldin eta

C-tik biratu da?

Irtenbidea:

Irtenbidea:

Inertzia-momentuaren formula haga solido homogeneoarentzat (errotazio-ardatza hagaren erdian dago):

I = 1/12 ^ML2

27 = (1/12) ^ML2

(27)(12) = ^ML2

324 = ^ML2

Haga solido homogeneo baten inertzia-momentuaren formula (hagaren ertzean dagoen biraketa-ardatza):

I = 1/3 ^ML2

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²